Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Данное уравнение является биквадратным относительно выражения $(x - 1)$. Для его решения удобно использовать метод введения новой переменной.

1. Пусть $(x - 1)^2 = t$.
Заметим, что так как квадрат любого числа не может быть отрицательным, то на переменную $t$ накладывается условие: $t \geq 0$.

2. Подставим $t$ в исходное уравнение. Так как $(x - 1)^4 = ((x - 1)^2)^2 = t^2$, уравнение примет вид квадратного:
$t^2 - 2t - 3 = 0$

3. Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант или по теореме Виета:
По теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 2$
$t_1 \cdot t_2 = -3$
Отсюда получаем корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

4. Проверим корни на соответствие условию $t \geq 0$:
Значение $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию, так как квадрат числа не может быть равен $-1$. Следовательно, это значение мы не используем.
Значение $t_1 = 3$ нам подходит.

5. Вернемся к обратной замене для $t = 3$:
$(x - 1)^2 = 3$

6. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Помним, что уравнение вида $a^2 = b$ имеет два корня: $a = \sqrt{b}$ и $a = -\sqrt{b}$:
$x - 1 = \sqrt{3}$ или $x - 1 = -\sqrt{3}$

7. Выразим $x$ в каждом случае:
1) $x = 1 + \sqrt{3}$
2) $x = 1 - \sqrt{3}$

Ответ: $1 - \sqrt{3}; 1 + \sqrt{3}$

Источник: ФИПИ