Задание 23

Геометрическая задача на вычисление · 142 задания

Задание №23
№23
Высота A H ромба A B C D делит сторону C D на отрезки D H = 21 и C H = 8 . Найдите высоту ромба.
Многоугольники
Задание №23
№23
Отрезки A B и D C лежат на параллельных прямых, а отрезки A C и B D пересекаются в точке M . Найдите M C , если A B = 16 , D C = 24 , A C = 25 .
Треугольник
Задание №23
№23
Точка H является основанием высоты B H , проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника A B C . Окружность с диаметром B H пересека…
Окружность и круг
Задание №23
№23
Точка H является основанием высоты B H , проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника A B C . Окружность с диаметром B H пересека…
Окружность и круг
Задание №23
№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 32 , B F = 24 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Прямая, параллельная основаниям трапеции A B C D , пересекает её боковые стороны A B и C D в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка E F ,…
Многоугольники
Задание №23
№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 24 , B F = 7 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Биссектриса угла A параллелограмма A B C D пересекает сторону B C в точке K . Найдите периметр параллелограмма, если B K = 7 , C K = 12 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Найдите боковую сторону A B трапеции A B C D , если углы A B C и B C D равны соответственно 30 ° и 120 ° , а C D = 25 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 12 , B F = 5 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника A B C к гипотенузе A C . Найдите A B , если A H = 6 , A C = 24…
Треугольник
Задание №23
№23
Биссектриса угла A параллелограмма A B C D пересекает сторону B C в точке K . Найдите периметр параллелограмма, если B K = 9 , C K = 15 .
Многоугольники

Задание №23 — Геометрия

Точка $H$ является основанием высоты $B H$ , проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $A B C$ . Окружность
с диаметром $B H$ пересекает стороны $A B$ и $C B$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите $P K$ , если $B H = 12$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$ . По условию угол $B$ — прямой ( $\angle ABC = 90^{\circ}$ ). Отрезок $BH$ является высотой, проведённой к гипотенузе $AC$ .

2. Рассмотрим четырёхугольник $PBKH$ . По условию точки $P$ и $K$ лежат на сторонах $AB$ и $CB$ соответственно. Так как $\angle ABC = 90^{\circ}$ , то и угол $\angle PBK = 90^{\circ}$ .

3. Окружность построена на отрезке $BH$ как на диаметре. По свойству вписанных углов, любой угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым. Однако в данной задаче нам важно другое свойство: точки $P$ и $K$ лежат на этой окружности.

4. Рассмотрим угол $\angle PBK$ . Мы знаем, что он равен $90^{\circ}$ . Этот угол является вписанным в данную окружность, так как его вершина $B$ и точки $P$ и $K$ лежат на окружности (по условию пересечения сторон треугольника с окружностью).

5. Вписанный угол, равный $90^{\circ}$ , всегда опирается на диаметр. Следовательно, отрезок $PK$ , соединяющий точки $P$ и $K$ , является диаметром этой окружности.

6. Таким образом, и отрезок $BH$ , и отрезок $PK$ являются диаметрами одной и той же окружности. В любой окружности все диаметры равны между собой.

7. Следовательно, $PK = BH$ . Так как по условию $BH = 12$ , то и $PK = 12$ .

Ответ: 12

Источник: ФИПИ