Задание №23 — Геометрия

#48230Задание №23ФИПИ

Окружность и круг

Точка $H$ является основанием высоты $B H$ , проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $A B C$ . Окружность
с диаметром $B H$ пересекает стороны $A B$ и $C B$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите $P K$ , если $B H = 12$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$ . По условию угол $B$ — прямой ( $\angle ABC = 90^{\circ}$ ). Отрезок $BH$ является высотой, проведённой к гипотенузе $AC$ .

2. Рассмотрим четырёхугольник $PBKH$ . По условию точки $P$ и $K$ лежат на сторонах $AB$ и $CB$ соответственно. Так как $\angle ABC = 90^{\circ}$ , то и угол $\angle PBK = 90^{\circ}$ .

3. Окружность построена на отрезке $BH$ как на диаметре. По свойству вписанных углов, любой угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым. Однако в данной задаче нам важно другое свойство: точки $P$ и $K$ лежат на этой окружности.

4. Рассмотрим угол $\angle PBK$ . Мы знаем, что он равен $90^{\circ}$ . Этот угол является вписанным в данную окружность, так как его вершина $B$ и точки $P$ и $K$ лежат на окружности (по условию пересечения сторон треугольника с окружностью).

5. Вписанный угол, равный $90^{\circ}$ , всегда опирается на диаметр. Следовательно, отрезок $PK$ , соединяющий точки $P$ и $K$ , является диаметром этой окружности.

6. Таким образом, и отрезок $BH$ , и отрезок $PK$ являются диаметрами одной и той же окружности. В любой окружности все диаметры равны между собой.

7. Следовательно, $PK = BH$ . Так как по условию $BH = 12$ , то и $PK = 12$ .

Ответ: 12

Источник: ФИПИ