Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $v$ км/ч — скорость первого бегуна. Тогда скорость второго бегуна равна $v + 2$ км/ч (так как по условию скорость первого на 2 км/ч меньше скорости второго).

Разберем движение каждого бегуна по отдельности и составим уравнение на основе длины круговой трассы.

1) Рассмотрим первого бегуна. Известно, что спустя 1 час ему оставался 1 км до окончания первого круга. Значит, за 1 час он пробежал расстояние $v \cdot 1 = v$ км. Следовательно, длина всей круговой трассы равна $S = v + 1$ км.

2) Рассмотрим второго бегуна. Он пробежал первый круг (то есть расстояние $S$) за время на 3 минуты меньшее, чем 1 час. Переведем 3 минуты в часы: $3 \text{ мин} = \frac{3}{60} \text{ ч} = \frac{1}{20} \text{ ч}$. Таким образом, второй бегун пробежал круг за $1 - \frac{1}{20} = \frac{19}{20}$ часа.

3) Зная время и скорость второго бегуна, мы можем выразить длину круга $S$ вторым способом: $S = (v + 2) \cdot \frac{19}{20}$.

4) Так как длина круга в обоих случаях одинакова, приравняем полученные выражения:
$v + 1 = \frac{19}{20}(v + 2)$

5) Решим полученное уравнение. Умножим обе части на 20, чтобы избавиться от знаменателя:
$20(v + 1) = 19(v + 2)$
$20v + 20 = 19v + 38$

6) Перенесем слагаемые с $v$ в левую часть, а числа — в правую:
$20v - 19v = 38 - 20$
$v = 18$

Таким образом, скорость первого бегуна составляет 18 км/ч.

Ответ: 18

Источник: ФИПИ