Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24
Сторона B C параллелограмма A B C D вдвое больше стороны C D . Точка K — середина стороны B C . Докажите, что D K — биссектриса угла A D C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Сторона A D параллелограмма A B C D вдвое больше стороны A B . Точка M — середина стороны A D . Докажите, что B M — биссектриса угла A B C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 4 и 64, B D = 16 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Внутри параллелограмма A B C D выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников B E C и A E D равна половине площади параллел…
Многоугольники
Задание №24
№24
В остроугольном треугольнике A B C проведены высоты A A_1 и C C_1 . Докажите, что углы C C_1 A_1 и C A A_1 равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 45, B D = 15 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
В выпуклом четырёхугольнике A B C D углы C D B и C A B равны. Докажите, что углы B C A и B D A также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 9 и 36, B D = 18 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
На средней линии трапеции A B C D с основаниями A D и B C выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников B F C и A F D равн…
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 6 и 24, B D = 12 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 20, B D = 10 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 2 и 32, B D = 8 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

В остроугольном треугольнике $A B C$ проведены высоты $B B_{1}$ и $C C_{1}$ . Докажите, что углы $B B_{1} C_{1}$ и $B C C_{1}$ равны.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Рассмотрим треугольники $A B B_{1}$ и $A C C_{1}$ . По условию $B B_{1}$ и $C C_{1}$ — высоты, значит, углы $A B_{1} B$ и $A C_{1} C$ прямые ( $90^{\circ}$ ).

2) Заметим, что из точек $B_{1}$ и $C_{1}$ сторона $B C$ видна под одним и тем же углом — прямым ( $\angle B C_{1} C = \angle B B_{1} C = 90^{\circ}$ ). Согласно геометрическому свойству, если отрезок виден из двух точек, лежащих по одну сторону от него, под равными углами, то эти две точки и концы отрезка лежат на одной окружности.

3) Таким образом, точки $B, C, B_{1}, C_{1}$ лежат на одной окружности. При этом отрезок $B C$ является диаметром этой окружности, так как углы, опирающиеся на него, равны $90^{\circ}$ .

4) Рассмотрим углы $B B_{1} C_{1}$ и $B C C_{1}$ в этой окружности. Оба этих угла являются вписанными.
Угол $B B_{1} C_{1}$ опирается на дугу $B C_{1}$ .
Угол $B C C_{1}$ также опирается на дугу $B C_{1}$ .

5) По свойству вписанных углов, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Следовательно, $\angle B B_{1} C_{1} = \angle B C C_{1}$ .

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ