Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24Среднее
Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что BM — биссектриса угла ABC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD = 16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Сложное
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
Многоугольники
Задание №24
№24Сложное
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы CC₁ A₁ и CAA₁ равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, BD = 15. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Лёгкое
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Лёгкое
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 9 и 36, BD = 18. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине…
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 6 и 24, BD = 12. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 32, BD = 8. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

В остроугольном треугольнике $A B C$ проведены высоты $B B_{1}$ и $C C_{1}$ . Докажите, что углы $B B_{1} C_{1}$ и $B C C_{1}$ равны.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Рассмотрим треугольники $A B B_{1}$ и $A C C_{1}$ . По условию $B B_{1}$ и $C C_{1}$ — высоты, значит, углы $A B_{1} B$ и $A C_{1} C$ прямые ( $90^{\circ}$ ).

2) Заметим, что из точек $B_{1}$ и $C_{1}$ сторона $B C$ видна под одним и тем же углом — прямым ( $\angle B C_{1} C = \angle B B_{1} C = 90^{\circ}$ ). Согласно геометрическому свойству, если отрезок виден из двух точек, лежащих по одну сторону от него, под равными углами, то эти две точки и концы отрезка лежат на одной окружности.

3) Таким образом, точки $B, C, B_{1}, C_{1}$ лежат на одной окружности. При этом отрезок $B C$ является диаметром этой окружности, так как углы, опирающиеся на него, равны $90^{\circ}$ .

4) Рассмотрим углы $B B_{1} C_{1}$ и $B C C_{1}$ в этой окружности. Оба этих угла являются вписанными.
Угол $B B_{1} C_{1}$ опирается на дугу $B C_{1}$ .
Угол $B C C_{1}$ также опирается на дугу $B C_{1}$ .

5) По свойству вписанных углов, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Следовательно, $\angle B B_{1} C_{1} = \angle B C C_{1}$ .

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ