Задание №24 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим треугольники $A B B_{1}$ и $A C C_{1}$. По условию $B B_{1}$ и $C C_{1}$ — высоты, значит, углы $A B_{1} B$ и $A C_{1} C$ прямые ($90^{\circ}$).

2) Заметим, что из точек $B_{1}$ и $C_{1}$ сторона $B C$ видна под одним и тем же углом — прямым ($\angle B C_{1} C = \angle B B_{1} C = 90^{\circ}$). Согласно геометрическому свойству, если отрезок виден из двух точек, лежащих по одну сторону от него, под равными углами, то эти две точки и концы отрезка лежат на одной окружности.

3) Таким образом, точки $B, C, B_{1}, C_{1}$ лежат на одной окружности. При этом отрезок $B C$ является диаметром этой окружности, так как углы, опирающиеся на него, равны $90^{\circ}$.

4) Рассмотрим углы $B B_{1} C_{1}$ и $B C C_{1}$ в этой окружности. Оба этих угла являются вписанными.
Угол $B B_{1} C_{1}$ опирается на дугу $B C_{1}$.
Угол $B C C_{1}$ также опирается на дугу $B C_{1}$.

5) По свойству вписанных углов, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Следовательно, $\angle B B_{1} C_{1} = \angle B C C_{1}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ