Задание №20 — Алгебраические выражения

Решение.

Проанализируем структуру уравнения. Мы видим сумму двух выражений, каждое из которых возведено в квадрат: $(x^2 - 1)^2 + (x^2 - 6x - 7)^2 = 0$.

1. Вспомним важное свойство: квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Это значит, что $(x^2 - 1)^2 \ge 0$ и $(x^2 - 6x - 7)^2 \ge 0$ при любых значениях $x$.

2. Сумма двух неотрицательных чисел может быть равна нулю только в одном случае: когда каждое из этих чисел равно нулю одновременно. Таким образом, наше уравнение равносильно системе уравнений:
$\begin{cases} x^2 - 1 = 0 \\ x^2 - 6x - 7 = 0 \end{cases}$

3. Решим первое уравнение системы:
$x^2 - 1 = 0$
$x^2 = 1$
$x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

4. Теперь проверим, какое из этих значений удовлетворяет второму уравнению системы $x^2 - 6x - 7 = 0$:
Подставим $x = 1$:
$1^2 - 6 \cdot 1 - 7 = 1 - 6 - 7 = -12$.
$-12 \neq 0$, значит, $x = 1$ не является решением системы.
Подставим $x = -1$:
$(-1)^2 - 6 \cdot (-1) - 7 = 1 + 6 - 7 = 0$.
$0 = 0$, значит, $x = -1$ является решением системы.

5. Таким образом, единственным общим корнем для обоих выражений является $x = -1$.

Ответ: -1

Источник: ФИПИ