Задание №20 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения уравнения $x^{3} + 3x^{2} - x - 3 = 0$ воспользуемся методом группировки слагаемых.

1. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье — с четвёртым:
$(x^{3} + 3x^{2}) + (-x - 3) = 0$.

2. Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:
Из первой группы вынесем $x^{2}$, а из второй — минус единицу ($-1$):
$x^{2}(x + 3) - 1(x + 3) = 0$.

3. Теперь мы видим общий множитель $(x + 3)$. Вынесем его за скобки:
$(x + 3)(x^{2} - 1) = 0$.

4. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Перейдём к совокупности двух уравнений:
$x + 3 = 0$ или $x^{2} - 1 = 0$.

5. Решим каждое уравнение по отдельности:
а) $x + 3 = 0$
Переносим $3$ в правую часть с противоположным знаком:
$x_{1} = -3$.
б) $x^{2} - 1 = 0$
Переносим $1$ в правую часть:
$x^{2} = 1$.
Отсюда находим два корня:
$x_{2} = 1$,
$x_{3} = -1$.

Таким образом, уравнение имеет три корня: $-3$, $-1$ и $1$.

Ответ: -3; -1; 1.

Источник: ФИПИ