Задание 23

Геометрическая задача на вычисление · 142 задания

Задание №23
№23Среднее
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 21 и CH = 8. Найдите высоту ромба.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 16, DC = 24, AC = 25.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Среднее
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 32, BF = 24.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD…
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 7.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 7, CK = 12.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD = 25.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 12, BF = 5.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 6, AC = 24.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 9, CK = 15.
Многоугольники

Задание №23 — Геометрия

Прямая, параллельная основаниям трапеции $A B C D$ , пересекает её боковые стороны $A B$ и $C D$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину
отрезка $E F$ , если $A D = 44$ , $B C = 24$ , $C F : D F = 3 : 1$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Пусть $ABCD$ — данная трапеция с основаниями $BC = 24$ и $AD = 44$ . Прямая $EF$ параллельна основаниям, при этом точка $E$ лежит на $AB$ , а $F$ — на $CD$ . По условию $CF : DF = 3 : 1$ . Обозначим $DF = x$ , тогда $CF = 3x$ . Следовательно, вся боковая сторона $CD = CF + DF = 3x + x = 4x$ .

2. Проведём дополнительное построение: проведём отрезок $CG$ параллельно боковой стороне $AB$ , где точка $G$ лежит на основании $AD$ . Пусть этот отрезок пересекает $EF$ в точке $K$ .

3. Четырёхугольники $ABCK$ и $ABCG$ являются параллелограммами по определению (противоположные стороны попарно параллельны: $BC \parallel EK \parallel AG$ и $AB \parallel CK \parallel CG$ ). Из свойств параллелограмма следует, что $BC = EK = AG = 24$ .

4. Найдём отрезок $GD$ :
$GD = AD - AG = 44 - 24 = 20$ .

5. Рассмотрим треугольник $CGD$ . Отрезок $KF$ параллелен стороне $GD$ , так как $EF \parallel AD$ . Значит, треугольники $CKF$ и $CGD$ подобны по двум углам (угол $C$ общий, $\angle CFK = \angle CDG$ как соответственные при параллельных прямых).

6. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{KF}{GD} = \frac{CF}{CD}$ .
Подставим известные значения:
$\frac{KF}{20} = \frac{3x}{4x}$ ,
$\frac{KF}{20} = \frac{3}{4}$ .
Отсюда находим $KF$ :
$KF = \frac{20 \cdot 3}{4} = 5 \cdot 3 = 15$ .

7. Длина искомого отрезка $EF$ складывается из длин отрезков $EK$ и $KF$ :
$EF = EK + KF = 24 + 15 = 39$ .

Ответ: 39

Источник: ФИПИ