Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Пусть $ABCD$ — данная трапеция с основаниями $BC = 24$ и $AD = 44$. Прямая $EF$ параллельна основаниям, при этом точка $E$ лежит на $AB$, а $F$ — на $CD$. По условию $CF : DF = 3 : 1$. Обозначим $DF = x$, тогда $CF = 3x$. Следовательно, вся боковая сторона $CD = CF + DF = 3x + x = 4x$.

2. Проведём дополнительное построение: проведём отрезок $CG$ параллельно боковой стороне $AB$, где точка $G$ лежит на основании $AD$. Пусть этот отрезок пересекает $EF$ в точке $K$.

3. Четырёхугольники $ABCK$ и $ABCG$ являются параллелограммами по определению (противоположные стороны попарно параллельны: $BC \parallel EK \parallel AG$ и $AB \parallel CK \parallel CG$). Из свойств параллелограмма следует, что $BC = EK = AG = 24$.

4. Найдём отрезок $GD$:
$GD = AD - AG = 44 - 24 = 20$.

5. Рассмотрим треугольник $CGD$. Отрезок $KF$ параллелен стороне $GD$, так как $EF \parallel AD$. Значит, треугольники $CKF$ и $CGD$ подобны по двум углам (угол $C$ общий, $\angle CFK = \angle CDG$ как соответственные при параллельных прямых).

6. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{KF}{GD} = \frac{CF}{CD}$.
Подставим известные значения:
$\frac{KF}{20} = \frac{3x}{4x}$,
$\frac{KF}{20} = \frac{3}{4}$.
Отсюда находим $KF$:
$KF = \frac{20 \cdot 3}{4} = 5 \cdot 3 = 15$.

7. Длина искомого отрезка $EF$ складывается из длин отрезков $EK$ и $KF$:
$EF = EK + KF = 24 + 15 = 39$.

Ответ: 39

Источник: ФИПИ