Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дана система уравнений:
$\begin{cases} 2x^2 - x = y \\ 2x - 1 = y \end{cases}$

Шаг 1. Приравнивание выражений.
Заметим, что в обоих уравнениях левые части равны одной и той же переменной $y$. Это означает, что мы можем приравнять эти выражения друг к другу:
$2x^2 - x = 2x - 1$

Шаг 2. Приведение уравнения к квадратному виду.
Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль. При переносе не забываем менять знаки на противоположные:
$2x^2 - x - 2x + 1 = 0$
Приведём подобные слагаемые ($-x - 2x = -3x$):
$2x^2 - 3x + 1 = 0$

Шаг 3. Решение квадратного уравнения.
Воспользуемся формулой дискриминанта $D = b^2 - 4ac$, где $a = 2$, $b = -3$, $c = 1$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдём их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$
$x_2 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$

Шаг 4. Нахождение соответствующих значений $y$.
Для каждого найденного значения $x$ вычислим значение $y$, подставив $x$ во второе (более простое) уравнение системы $y = 2x - 1$:
1) Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 2 \cdot 1 - 1 = 2 - 1 = 1$.
2) Если $x_2 = 0,5$, то $y_2 = 2 \cdot 0,5 - 1 = 1 - 1 = 0$.

Таким образом, мы получили две пары чисел $(x; y)$, которые являются решениями системы: $(1; 1)$ и $(0,5; 0)$.

Ответ: (1; 1), (0,5; 0)

Источник: ФИПИ