Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость моторной лодки в неподвижной воде. По условию задачи скорость течения реки равна $5$ км/ч. Тогда:

1) Скорость лодки по течению реки равна $(x + 5)$ км/ч.
2) Скорость лодки против течения реки равна $(x - 5)$ км/ч.

Так как скорость не может быть отрицательной и лодка смогла плыть против течения, то $x > 5$.

Лодка прошла $132$ км в каждом направлении. Составим выражения для времени, затраченного на путь:
— Время против течения: $t_1 = \frac{132}{x - 5}$ ч.
— Время по течению: $t_2 = \frac{132}{x + 5}$ ч.

По условию задачи на обратный путь (по течению) лодка затратила на $5$ часов меньше, чем на путь против течения. Составим уравнение:
$\frac{132}{x - 5} - \frac{132}{x + 5} = 5$

Приведём дроби к общему знаменателю $(x - 5)(x + 5)$:
$\frac{132(x + 5) - 132(x - 5)}{(x - 5)(x + 5)} = 5$
$\frac{132x + 660 - 132x + 660}{x^2 - 25} = 5$
$\frac{1320}{x^2 - 25} = 5$

Разделим обе части уравнения на $5$:
$\frac{264}{x^2 - 25} = 1$
$x^2 - 25 = 264$
$x^2 = 264 + 25$
$x^2 = 289$

Отсюда находим корни уравнения:
$x_1 = 17$
$x_2 = -17$

Так как скорость лодки должна быть положительным числом, корень $x = -17$ не подходит по смыслу задачи. Значит, скорость лодки в неподвижной воде равна $17$ км/ч.

Ответ: 17

Источник: ФИПИ