Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дана система уравнений:
$\begin{cases} 2x^2 - 5x = y \\ 2x - 5 = y \end{cases}$

Шаг 1. Метод подстановки.
Заметим, что в обоих уравнениях левые части равны одной и той же переменной $y$. Следовательно, мы можем приравнять левые части этих уравнений друг к другу:
$2x^2 - 5x = 2x - 5$

Шаг 2. Решение полученного квадратного уравнения.
Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль. При переносе не забываем менять знаки на противоположные:
$2x^2 - 5x - 2x + 5 = 0$
Приведём подобные слагаемые:
$2x^2 - 7x + 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдём их:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
$x_1 = \frac{7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 3}{4} = \frac{10}{4} = 2,5$
$x_2 = \frac{7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Шаг 3. Нахождение соответствующих значений $y$.
Для каждого найденного значения $x$ вычислим значение $y$, подставив $x$ во второе (более простое) уравнение системы $y = 2x - 5$:
1) Если $x_1 = 2,5$, то $y_1 = 2 \cdot 2,5 - 5 = 5 - 5 = 0$.
2) Если $x_2 = 1$, то $y_2 = 2 \cdot 1 - 5 = 2 - 5 = -3$.

Шаг 4. Запись ответа.
Решением системы являются пары чисел $(x; y)$. В нашем случае это $(2,5; 0)$ и $(1; -3)$.

Ответ: (2,5; 0), (1; -3)

Источник: ФИПИ