Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

1. Заметим, что выражение во второй скобке $x^{2} + 8x + 16$ представляет собой квадрат суммы. Применим формулу $a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$:
$x^{2} + 8x + 16 = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2} = (x + 4)^{2}$.
Перепишем исходное уравнение с учётом этого преобразования:
$(x - 2)(x + 4)^{2} = 7(x + 4)$.

2. Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль:
$(x - 2)(x + 4)^{2} - 7(x + 4) = 0$.

3. Теперь мы видим общий множитель $(x + 4)$. Вынесем его за скобки:
$(x + 4) \cdot ((x - 2)(x + 4) - 7) = 0$.

4. Упростим выражение во вторых (квадратных) скобках. Для этого раскроем произведение $(x - 2)(x + 4)$:
$(x - 2)(x + 4) = x^{2} + 4x - 2x - 8 = x^{2} + 2x - 8$.
Подставим это обратно в уравнение:
$(x + 4)(x^{2} + 2x - 8 - 7) = 0$;
$(x + 4)(x^{2} + 2x - 15) = 0$.

5. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Переходим к совокупности двух уравнений:
1) $x + 4 = 0 \Rightarrow x_{1} = -4$.
2) $x^{2} + 2x - 15 = 0$.

6. Решим квадратное уравнение $x^{2} + 2x - 15 = 0$ через дискриминант:
$D = b^{2} - 4ac = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$.
$\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8$.
$x_{2} = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$;
$x_{3} = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.

Таким образом, уравнение имеет три корня: $-5$, $-4$ и $3$.

Ответ: -5; -4; 3.

Источник: ФИПИ