Задание 21

Текстовая задача · 190 заданий

Задание №21
№21
Моторная лодка прошла против течения реки 297 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3 часа меньше, чем на путь против течен…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 23%. Сколько сухих фруктов получится из 341 кг свежих фруктов?
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Два велосипедиста одновременно отправляются в 60-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Два велосипедиста одновременно отправляются в 224-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 2 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 180 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выпо…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Свежие фрукты содержат 79 % воды, а высушенные — 16 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Два велосипедиста одновременно отправляются в 180-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 5 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 93 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям по платформе со скоростью 3 к…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 209 км. На следующий день он отправился обратно в А,…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 140 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорост…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 57 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего по платформе параллельно путям со скоростью 3 км/ч навстречу поезду,…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Первая труба пропускает на 15 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объё…
Текстовые задачи

Задание №21 — Уравнения и неравенства

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 280 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода
в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится
15 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 39 часов после отплытия из него.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость теплохода в неподвижной воде (собственная скорость). По условию задачи скорость течения реки равна $4$ км/ч. Тогда скорость теплохода по течению реки составляет $x + 4$ км/ч, а скорость против течения — $x - 4$ км/ч. По смыслу задачи $x > 4$ .

1) Составим выражение для времени, затраченного на движение. Расстояние в одну сторону равно $280$ км.
Время движения по течению: $\frac{280}{x + 4}$ ч.
Время движения против течения: $\frac{280}{x - 4}$ ч.

2) Общее время в пути складывается из времени движения туда, времени стоянки и времени движения обратно. По условию теплоход вернулся через $39$ часов, а стоянка длилась $15$ часов. Значит, чистое время в движении составило:
$39 - 15 = 24$ ч.

3) Составим уравнение:
$\frac{280}{x + 4} + \frac{280}{x - 4} = 24$

4) Разделим обе части уравнения на $8$ , чтобы упростить вычисления:
$\frac{35}{x + 4} + \frac{35}{x - 4} = 3$

5) Приведем дроби к общему знаменателю $(x + 4)(x - 4) = x^2 - 16$ :
$\frac{35(x - 4) + 35(x + 4)}{x^2 - 16} = 3$
$\frac{35x - 140 + 35x + 140}{x^2 - 16} = 3$
$\frac{70x}{x^2 - 16} = 3$

6) Перейдем к квадратному уравнению:
$3(x^2 - 16) = 70x$
$3x^2 - 48 = 70x$
$3x^2 - 70x - 48 = 0$

7) Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = (-70)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-48) = 4900 + 576 = 5476$
$\sqrt{D} = \sqrt{5476} = 74$

8) Находим корни:
$x_1 = \frac{70 + 74}{2 \cdot 3} = \frac{144}{6} = 24$
$x_2 = \frac{70 - 74}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$

Так как скорость теплохода должна быть положительной величиной, корень $x_2 = -\frac{2}{3}$ не подходит по условию задачи. Следовательно, собственная скорость теплохода равна $24$ км/ч.

Ответ: 24

Источник: ФИПИ