Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость теплохода в неподвижной воде (собственная скорость). По условию задачи скорость течения реки равна $4$ км/ч. Тогда скорость теплохода по течению реки составляет $x + 4$ км/ч, а скорость против течения — $x - 4$ км/ч. По смыслу задачи $x > 4$.

1) Составим выражение для времени, затраченного на движение. Расстояние в одну сторону равно $280$ км.
Время движения по течению: $\frac{280}{x + 4}$ ч.
Время движения против течения: $\frac{280}{x - 4}$ ч.

2) Общее время в пути складывается из времени движения туда, времени стоянки и времени движения обратно. По условию теплоход вернулся через $39$ часов, а стоянка длилась $15$ часов. Значит, чистое время в движении составило:
$39 - 15 = 24$ ч.

3) Составим уравнение:
$\frac{280}{x + 4} + \frac{280}{x - 4} = 24$

4) Разделим обе части уравнения на $8$, чтобы упростить вычисления:
$\frac{35}{x + 4} + \frac{35}{x - 4} = 3$

5) Приведем дроби к общему знаменателю $(x + 4)(x - 4) = x^2 - 16$:
$\frac{35(x - 4) + 35(x + 4)}{x^2 - 16} = 3$
$\frac{35x - 140 + 35x + 140}{x^2 - 16} = 3$
$\frac{70x}{x^2 - 16} = 3$

6) Перейдем к квадратному уравнению:
$3(x^2 - 16) = 70x$
$3x^2 - 48 = 70x$
$3x^2 - 70x - 48 = 0$

7) Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = (-70)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-48) = 4900 + 576 = 5476$
$\sqrt{D} = \sqrt{5476} = 74$

8) Находим корни:
$x_1 = \frac{70 + 74}{2 \cdot 3} = \frac{144}{6} = 24$
$x_2 = \frac{70 - 74}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$

Так как скорость теплохода должна быть положительной величиной, корень $x_2 = -\frac{2}{3}$ не подходит по условию задачи. Следовательно, собственная скорость теплохода равна $24$ км/ч.

Ответ: 24

Источник: ФИПИ