Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24
Сторона B C параллелограмма A B C D вдвое больше стороны C D . Точка K — середина стороны B C . Докажите, что D K — биссектриса угла A D C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Сторона A D параллелограмма A B C D вдвое больше стороны A B . Точка M — середина стороны A D . Докажите, что B M — биссектриса угла A B C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 4 и 64, B D = 16 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Внутри параллелограмма A B C D выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников B E C и A E D равна половине площади параллел…
Многоугольники
Задание №24
№24
В остроугольном треугольнике A B C проведены высоты A A_1 и C C_1 . Докажите, что углы C C_1 A_1 и C A A_1 равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 45, B D = 15 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
В выпуклом четырёхугольнике A B C D углы C D B и C A B равны. Докажите, что углы B C A и B D A также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 9 и 36, B D = 18 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
На средней линии трапеции A B C D с основаниями A D и B C выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников B F C и A F D равн…
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 6 и 24, B D = 12 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 20, B D = 10 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 2 и 32, B D = 8 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

Биссектрисы углов $A$ и $D$ параллелограмма $A B C D$ пересекаются
в точке $K$ , лежащей на стороне $B C$ . Докажите, что $K$ $—$ середина $B C$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Рассмотрим параллелограмм $ABCD$ . По свойству параллелограмма противоположные стороны параллельны, значит, $BC \parallel AD$ .

2) Рассмотрим биссектрису $AK$ . Углы $KAD$ и $BKA$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AK$ . Следовательно, $\angle BKA = \angle KAD$ .

3) Так как $AK$ — биссектриса угла $A$ , то $\angle BAK = \angle KAD$ . Из этого и предыдущего пункта следует, что $\angle BAK = \angle BKA$ . Значит, треугольник $ABK$ является равнобедренным с основанием $AK$ , откуда получаем, что $AB = BK$ .

4) Аналогично рассмотрим биссектрису $DK$ . Углы $KDA$ и $CKD$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $DK$ . Следовательно, $\angle CKD = \angle KDA$ .

5) Так как $DK$ — биссектриса угла $D$ , то $\angle CDK = \angle KDA$ . Из этого следует, что $\angle CDK = \angle CKD$ . Значит, треугольник $KCD$ является равнобедренным с основанием $DK$ , откуда получаем, что $CD = KC$ .

6) По свойству параллелограмма противоположные стороны равны: $AB = CD$ .
Учитывая равенства из предыдущих шагов, получаем: $BK = AB = CD = KC$ .
Таким образом, $BK = KC$ .

7) Так как точка $K$ лежит на стороне $BC$ и делит её на два равных отрезка ( $BK = KC$ ), то точка $K$ является серединой стороны $BC$ . Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ