Задание №24 — Геометрия

#48249Задание №24ФИПИ

Многоугольники

Биссектрисы углов $A$ и $D$ параллелограмма $A B C D$ пересекаются
в точке $K$ , лежащей на стороне $B C$ . Докажите, что $K$ $—$ середина $B C$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1) Рассмотрим параллелограмм $ABCD$ . По свойству параллелограмма противоположные стороны параллельны, значит, $BC \parallel AD$ .

2) Рассмотрим биссектрису $AK$ . Углы $KAD$ и $BKA$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AK$ . Следовательно, $\angle BKA = \angle KAD$ .

3) Так как $AK$ — биссектриса угла $A$ , то $\angle BAK = \angle KAD$ . Из этого и предыдущего пункта следует, что $\angle BAK = \angle BKA$ . Значит, треугольник $ABK$ является равнобедренным с основанием $AK$ , откуда получаем, что $AB = BK$ .

4) Аналогично рассмотрим биссектрису $DK$ . Углы $KDA$ и $CKD$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $DK$ . Следовательно, $\angle CKD = \angle KDA$ .

5) Так как $DK$ — биссектриса угла $D$ , то $\angle CDK = \angle KDA$ . Из этого следует, что $\angle CDK = \angle CKD$ . Значит, треугольник $KCD$ является равнобедренным с основанием $DK$ , откуда получаем, что $CD = KC$ .

6) По свойству параллелограмма противоположные стороны равны: $AB = CD$ .
Учитывая равенства из предыдущих шагов, получаем: $BK = AB = CD = KC$ .
Таким образом, $BK = KC$ .

7) Так как точка $K$ лежит на стороне $BC$ и делит её на два равных отрезка ( $BK = KC$ ), то точка $K$ является серединой стороны $BC$ . Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ