Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Данное уравнение удобно решить методом введения новой переменной. Заметим, что в уравнении повторяется выражение $\frac{1}{x - 1}$.

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ).
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:
$x - 1 \neq 0$, откуда $x \neq 1$.

2. Введём замену переменной.
Пусть $t = \frac{1}{x - 1}$. Тогда уравнение примет вид:
$t^{2} + 2t - 3 = 0$.

3. Решим полученное квадратное уравнение.
Найдём дискриминант по формуле $D = b^{2} - 4ac$:
$D = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.
Корни уравнения найдём по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$t_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$;
$t_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

4. Вернёмся к исходной переменной $x$.
Рассмотрим два случая:
а) Если $t = 1$, то:
$\frac{1}{x - 1} = 1$
$x - 1 = 1$
$x = 2$.
б) Если $t = -3$, то:
$\frac{1}{x - 1} = -3$
Воспользуемся свойством пропорции:
$-3(x - 1) = 1$
$-3x + 3 = 1$
$-3x = 1 - 3$
$-3x = -2$
$x = \frac{-2}{-3}$
$x = \frac{2}{3}$.

5. Проверка корней.
Оба найденных значения ($2$ и $\frac{2}{3}$) не равны $1$, значит, они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{2}{3}; 2$.

Источник: ФИПИ