Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения данного неравенства проанализируем структуру дроби $\frac{-15}{(x+1)^2 - 3} \geq 0$.

1. Заметим, что в числителе дроби стоит отрицательное число $-15$. Чтобы вся дробь была больше или равна нулю, знаменатель этой дроби также должен быть отрицательным. При этом знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

2. Таким образом, исходное неравенство равносильно строгому неравенству для знаменателя:
$(x+1)^2 - 3 < 0$

3. Решим полученное неравенство. Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, представив число $3$ как $(\sqrt{3})^2$:
$(x+1 - \sqrt{3})(x+1 + \sqrt{3}) < 0$

4. Найдём корни выражения в левой части, приравняв каждую скобку к нулю:
$x+1 - \sqrt{3} = 0 \Rightarrow x_1 = \sqrt{3} - 1$
$x+1 + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow x_2 = -\sqrt{3} - 1$

5. Воспользуемся методом интервалов. Отметим полученные точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала:
$(-\infty; -1-\sqrt{3})$, $(-1-\sqrt{3}; -1+\sqrt{3})$ и $(-1+\sqrt{3}; +\infty)$.

6. Определим знак выражения $(x+1)^2 - 3$ на каждом интервале. Поскольку это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями вверх, выражение принимает отрицательные значения между корнями.

7. Следовательно, решением неравенства является интервал:
$-1-\sqrt{3} < x < -1+\sqrt{3}$

Запишем это в виде промежутка: $x \in (-1-\sqrt{3}; -1+\sqrt{3})$.

Ответ: $(-1-\sqrt{3}; -1+\sqrt{3})$

Источник: ФИПИ