Задание 23

Геометрическая задача на вычисление · 142 задания

Задание №23
№23Среднее
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 21 и CH = 8. Найдите высоту ромба.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 16, DC = 24, AC = 25.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Среднее
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 32, BF = 24.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD…
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 7.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 7, CK = 12.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD = 25.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 12, BF = 5.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 6, AC = 24.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 9, CK = 15.
Многоугольники

Задание №23 — Геометрия

Отрезки $A B$ и $C D$ являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды $C D$ , если $A B = 20$ , $C D = 48$ , а расстояние от центра окружности до хорды $A B$ равно 24.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Пусть $O$ — центр окружности, $R$ — её радиус. Проведём перпендикуляры из центра $O$ к хордам $AB$ и $CD$ . Пусть $OH$ — расстояние до хорды $AB$ , а $OK$ — искомое расстояние до хорды $CD$ . По условию $OH = 24$ , $AB = 20$ , $CD = 48$ .

2) Вспомним свойство: перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит эту хорду пополам.
Следовательно, точка $H$ делит $AB$ пополам: $AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{20}{2} = 10$ .
Аналогично, точка $K$ делит $CD$ пополам: $CK = KD = \frac{CD}{2} = \frac{48}{2} = 24$ .

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOH$ (угол $H = 90^\circ$ ). В нём катет $AH = 10$ , катет $OH = 24$ . Гипотенуза $AO$ является радиусом окружности $R$ .
По теореме Пифагора:
$R^2 = AH^2 + OH^2$
$R^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$ .
Отсюда $R = \sqrt{676} = 26$ .

4) Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $COK$ (угол $K = 90^\circ$ ). В нём гипотенуза $CO$ — это радиус $R = 26$ , а катет $CK = 24$ . Нам нужно найти катет $OK$ .
По теореме Пифагора:
$OK^2 = CO^2 - CK^2$
$OK^2 = 26^2 - 24^2$ .
Применим формулу разности квадратов для удобства вычислений:
$OK^2 = (26 - 24)(26 + 24) = 2 \cdot 50 = 100$ .
Следовательно, $OK = \sqrt{100} = 10$ .

Таким образом, расстояние от центра окружности до хорды $CD$ равно 10.

Ответ: 10

Источник: ФИПИ