Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $O$ — центр окружности, $R$ — её радиус. Проведём перпендикуляры из центра $O$ к хордам $AB$ и $CD$. Пусть $OH$ — расстояние до хорды $AB$, а $OK$ — искомое расстояние до хорды $CD$. По условию $OH = 24$, $AB = 20$, $CD = 48$.

2) Вспомним свойство: перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит эту хорду пополам.
Следовательно, точка $H$ делит $AB$ пополам: $AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{20}{2} = 10$.
Аналогично, точка $K$ делит $CD$ пополам: $CK = KD = \frac{CD}{2} = \frac{48}{2} = 24$.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOH$ (угол $H = 90^\circ$). В нём катет $AH = 10$, катет $OH = 24$. Гипотенуза $AO$ является радиусом окружности $R$.
По теореме Пифагора:
$R^2 = AH^2 + OH^2$
$R^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$.
Отсюда $R = \sqrt{676} = 26$.

4) Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $COK$ (угол $K = 90^\circ$). В нём гипотенуза $CO$ — это радиус $R = 26$, а катет $CK = 24$. Нам нужно найти катет $OK$.
По теореме Пифагора:
$OK^2 = CO^2 - CK^2$
$OK^2 = 26^2 - 24^2$.
Применим формулу разности квадратов для удобства вычислений:
$OK^2 = (26 - 24)(26 + 24) = 2 \cdot 50 = 100$.
Следовательно, $OK = \sqrt{100} = 10$.

Таким образом, расстояние от центра окружности до хорды $CD$ равно 10.

Ответ: 10

Источник: ФИПИ