Задание №20 — Алгебраические выражения

Решение.

Дано уравнение: $x^{2} - 6x + \sqrt{6 - x} = \sqrt{6 - x} + 7$.

Шаг 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ).
В уравнении присутствует квадратный корень. Выражение под корнем должно быть неотрицательным, иначе уравнение не будет иметь смысла. Составим неравенство:
$6 - x \geq 0$
$-x \geq -6$
$x \leq 6$.
Это значит, что любые найденные корни должны быть меньше или равны 6.

Шаг 2. Упрощение уравнения.
Заметим, что слагаемое $\sqrt{6 - x}$ присутствует в обеих частях уравнения. Если мы перенесём его из правой части в левую, оно взаимно уничтожится:
$x^{2} - 6x + \sqrt{6 - x} - \sqrt{6 - x} = 7$
$x^{2} - 6x = 7$.

Шаг 3. Решение квадратного уравнения.
Перенесём число 7 в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^{2} - 6x - 7 = 0$.
Решим его через дискриминант $D = b^{2} - 4ac$:
$D = (-6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8$.
Найдём корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1} = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$;
$x_{2} = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Шаг 4. Проверка корней по ОДЗ.
Вспомним условие из первого шага: $x \leq 6$.
1) Проверим $x_{1} = 7$: число 7 больше 6, значит, этот корень не подходит (при $x = 7$ выражение под корнем становится отрицательным).
2) Проверим $x_{2} = -1$: число $-1$ меньше 6, условие выполняется. Этот корень является верным.

Ответ: -1

Источник: ФИПИ