Задание №20 — Алгебраические выражения

Решение.

Проанализируем структуру уравнения. Мы видим сумму двух квадратов: $(x^2 - 4)^2$ и $(x^2 - 6x - 16)^2$.
Вспомним важное свойство: квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю). То есть $a^2 \ge 0$ и $b^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю одновременно. Это позволяет нам перейти от одного уравнения к системе из двух уравнений:

$\begin{cases} x^2 - 4 = 0 \\ x^2 - 6x - 16 = 0 \end{cases}$

Шаг 1. Решим первое уравнение системы:
$x^2 - 4 = 0$
Разложим по формуле разности квадратов или просто перенесем четвёрку:
$x^2 = 4$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Шаг 2. Проверим, какой из этих корней удовлетворяет второму уравнению:
Второе уравнение: $x^2 - 6x - 16 = 0$.

Подставим $x_1 = 2$:
$2^2 - 6 \cdot 2 - 16 = 4 - 12 - 16 = -24$
$-24 \neq 0$. Значит, число $2$ не является решением системы.

Подставим $x_2 = -2$:
$(-2)^2 - 6 \cdot (-2) - 16 = 4 + 12 - 16 = 16 - 16 = 0$
$0 = 0$. Равенство верно, значит, число $-2$ является общим корнем для обоих уравнений.

Заключение:
Только значение $x = -2$ обращает оба слагаемых в ноль одновременно, а значит, является единственным решением исходного уравнения.

Ответ: -2

Источник: ФИПИ