Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим угол $\angle ABC$. По условию задачи треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$, то есть $\angle ABC = 90^\circ$.

2. Точки $P$ и $K$ лежат на сторонах $AB$ и $CB$ соответственно. Следовательно, угол $\angle PBK$ совпадает с углом $\angle ABC$, а значит, $\angle PBK = 90^\circ$.

3. Рассмотрим треугольник $PBK$. Это прямоугольный треугольник, вписанный в окружность (так как точки $P$, $B$ и $K$ лежат на окружности по условию).

4. Вспомним важное свойство: вписанный угол, равный $90^\circ$, опирается на диаметр окружности. Так как $\angle PBK = 90^\circ$, то отрезок $PK$, соединяющий концы сторон этого угла на окружности, является диаметром данной окружности.

5. По условию задачи нам известно, что $BH$ также является диаметром этой же самой окружности.

6. В любой окружности все диаметры равны между собой. Следовательно, длина отрезка $PK$ равна длине отрезка $BH$.

7. Так как по условию $BH = 15$, то и $PK = 15$.

Ответ: 15

Источник: ФИПИ