Задание №23 — Геометрия

#48258Задание №23ФИПИ

Окружность и круг

Точка $H$ является основанием высоты $B H$ , проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $A B C$ . Окружность
с диаметром $B H$ пересекает стороны $A B$ и $C B$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите $P K$ , если $B H = 11$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$ . По условию угол $B$ — прямой ( $\angle ABC = 90^{\circ}$ ). Отрезок $BH$ является высотой, проведённой к гипотенузе $AC$ .

2. Рассмотрим окружность с диаметром $BH$ . По условию точки $P$ и $K$ лежат на этой окружности, так как она пересекает стороны $AB$ и $CB$ . Также точки $P$ и $K$ лежат на катетах треугольника $ABC$ .

3. Рассмотрим угол $PBK$ . Этот угол совпадает с углом $ABC$ , следовательно, $\angle PBK = 90^{\circ}$ .

4. Вспомним важное свойство геометрии: вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, равен $90^{\circ}$ . Справедливо и обратное: если вписанный угол равен $90^{\circ}$ , то хорда, на которую он опирается, является диаметром этой окружности.

5. Угол $PBK$ является вписанным в данную окружность, так как его вершина $B$ и точки $P$ и $K$ лежат на окружности. Поскольку $\angle PBK = 90^{\circ}$ , то отрезок $PK$ , соединяющий точки на окружности, является её диаметром.

6. Таким образом, и отрезок $BH$ , и отрезок $PK$ являются диаметрами одной и той же окружности. В любой окружности все диаметры равны между собой.

7. Следовательно, $PK = BH$ . Так как по условию $BH = 11$ , то и $PK = 11$ .

Ответ: 11

Источник: ФИПИ