Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения задачи составим математическую модель. Пусть $x$ — количество деталей, которые делает второй рабочий за один час (его производительность). Тогда производительность первого рабочего равна $x + 9$ деталей в час, так как по условию он делает на 9 деталей больше.

Зная общее количество деталей в заказе ($112$ штук), выразим время работы каждого рабочего:
1) Время второго рабочего: $\frac{112}{x}$ часов.
2) Время первого рабочего: $\frac{112}{x + 9}$ часов.

По условию задачи первый рабочий выполняет заказ на 4 часа быстрее, чем второй. Это значит, что разница между временем второго и первого рабочих равна 4 часам. Составим уравнение:
$\frac{112}{x} - \frac{112}{x + 9} = 4$

Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения вычислений:
$\frac{28}{x} - \frac{28}{x + 9} = 1$

Приведём дроби в левой части к общему знаменателю $x(x + 9)$:
$\frac{28(x + 9) - 28x}{x(x + 9)} = 1$
$\frac{28x + 252 - 28x}{x^2 + 9x} = 1$
$\frac{252}{x^2 + 9x} = 1$

Перейдём к квадратному уравнению (учитывая, что $x > 0$):
$x^2 + 9x = 252$
$x^2 + 9x - 252 = 0$

Решим полученное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-252) = 81 + 1008 = 1089$
$\sqrt{D} = \sqrt{1089} = 33$

Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-9 + 33}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$x_2 = \frac{-9 - 33}{2} = \frac{-42}{2} = -21$

Так как производительность труда не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -21$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, второй рабочий делает 12 деталей в час.

Ответ: 12

Источник: ФИПИ