Задание №20 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данного уравнения воспользуемся методом группировки слагаемых. Это позволит нам разложить левую часть уравнения на множители.

1. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье — с четвёртым:
$(x^{3} + 3x^{2}) + (-4x - 12) = 0$

2. Вынесем общие множители за скобки в каждой группе. В первой группе общим множителем является $x^{2}$, а во второй — число $-4$:
$x^{2}(x + 3) - 4(x + 3) = 0$

3. Теперь мы видим, что в обоих слагаемых появился общий множитель $(x + 3)$. Вынесем его за скобки:
$(x + 3)(x^{2} - 4) = 0$

4. Заметим, что во второй скобке находится разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$, так как $4 = 2^{2}$:
$(x + 3)(x - 2)(x + 2) = 0$

5. Произведение нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждую скобку к нулю и найдём корни уравнения:
1) $x + 3 = 0 \Rightarrow x_{1} = -3$
2) $x - 2 = 0 \Rightarrow x_{2} = 2$
3) $x + 2 = 0 \Rightarrow x_{3} = -2$

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: -3; -2; 2

Источник: ФИПИ