Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Данное уравнение является биквадратным относительно выражения $(x - 3)$. Для его решения удобно использовать метод введения новой переменной.

1. Пусть $(x - 3)^2 = t$.
Заметим, что так как квадрат любого числа не может быть отрицательным, то на переменную $t$ накладывается условие: $t \geq 0$.

2. Перепишем исходное уравнение, используя замену. Так как $(x - 3)^4 = ((x - 3)^2)^2 = t^2$, уравнение принимает вид:
$t^2 - 3t - 10 = 0$

3. Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

4. Вернемся к условию $t \geq 0$.
Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет этому условию (так как квадрат числа не может быть равен $-2$), поэтому мы его не рассматриваем.

5. Выполним обратную замену для $t_1 = 5$:
$(x - 3)^2 = 5$
Из этого уравнения следует, что выражение под квадратом может быть равно либо $\sqrt{5}$, либо $-\sqrt{5}$:
1) $x - 3 = \sqrt{5} \Rightarrow x_1 = 3 + \sqrt{5}$
2) $x - 3 = -\sqrt{5} \Rightarrow x_2 = 3 - \sqrt{5}$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5}$

Источник: ФИПИ