Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Перед нами рациональное уравнение. Для его решения удобно воспользоваться методом введения новой переменной.

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ).
Так как переменная $x$ находится в знаменателе дроби, она не может быть равна нулю:
$x \neq 0$.

2. Введём новую переменную.
Заметим, что в уравнении $\frac{1}{x^2} + \frac{2}{x} - 3 = 0$ слагаемое $\frac{1}{x^2}$ — это квадрат выражения $\frac{1}{x}$.
Пусть $t = \frac{1}{x}$. Тогда $t^2 = \left(\frac{1}{x}\right)^2 = \frac{1}{x^2}$.

3. Составим и решим квадратное уравнение относительно $t$.
Подставим $t$ в исходное уравнение:
$t^2 + 2t - 3 = 0$
Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.
Найдём корни уравнения:
$t_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$;
$t_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

4. Вернёмся к исходной переменной $x$.
Рассмотрим два случая:
1) Если $t = 1$, то $\frac{1}{x} = 1$. Отсюда $x = 1$.
2) Если $t = -3$, то $\frac{1}{x} = -3$. Отсюда $x = -\frac{1}{3}$.

5. Проверка.
Оба найденных значения ($1$ и $-\frac{1}{3}$) не равны нулю, значит, они удовлетворяют ОДЗ и являются корнями уравнения.

Ответ: -1/3; 1

Источник: ФИПИ