Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $B$ ($\angle ABC = 90^\circ$). По условию, $BH$ — высота, проведённая к гипотенузе $AC$. Это означает, что отрезок $BH$ перпендикулярен $AC$, и точка $H$ лежит на гипотенузе.

2. Вспомним свойство прямоугольного треугольника: катет есть среднее геометрическое между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
Для катета $AB$ его проекцией на гипотенузу $AC$ является отрезок $AH$. Таким образом, справедливо соотношение: $AB^2 = AC \cdot AH$.

3. Также это свойство можно вывести из подобия треугольников. Треугольник $ABH$ подобен треугольнику $ABC$ по двум углам (угол $A$ у них общий, а углы $\angle AHB$ и $\angle ABC$ прямые).
Из подобия следует пропорция: $\frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AB}$.
Перемножив крест-накрест, получаем ту же формулу: $AB^2 = AC \cdot AH$.

4. Подставим известные по условию значения: $AH = 8$ и $AC = 32$.
$AB^2 = 32 \cdot 8$.

5. Выполним вычисления:
$32 \cdot 8 = 256$.
Следовательно, $AB = \sqrt{256}$.

6. Извлекая квадратный корень, находим длину катета:
$AB = 16$.

Ответ: 16

Источник: ФИПИ