Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24
Сторона B C параллелограмма A B C D вдвое больше стороны C D . Точка K — середина стороны B C . Докажите, что D K — биссектриса угла A D C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Сторона A D параллелограмма A B C D вдвое больше стороны A B . Точка M — середина стороны A D . Докажите, что B M — биссектриса угла A B C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 4 и 64, B D = 16 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Внутри параллелограмма A B C D выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников B E C и A E D равна половине площади параллел…
Многоугольники
Задание №24
№24
В остроугольном треугольнике A B C проведены высоты A A_1 и C C_1 . Докажите, что углы C C_1 A_1 и C A A_1 равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 45, B D = 15 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
В выпуклом четырёхугольнике A B C D углы C D B и C A B равны. Докажите, что углы B C A и B D A также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 9 и 36, B D = 18 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
На средней линии трапеции A B C D с основаниями A D и B C выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников B F C и A F D равн…
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 6 и 24, B D = 12 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 20, B D = 10 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 2 и 32, B D = 8 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

Сторона $C D$ параллелограмма $A B C D$ вдвое больше стороны $A D$ .
Точка $N$ $—$ середина стороны $C D$ . Докажите, что $A N$ $—$ биссектриса
угла $B A D$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. По условию задачи сторона $CD$ в два раза больше стороны $AD$ . Это можно записать в виде равенства: $CD = 2 \cdot AD$ .

2. Точка $N$ является серединой стороны $CD$ . Следовательно, отрезки $CN$ и $ND$ равны между собой и каждый из них равен половине стороны $CD$ :
$CN = ND = \frac{1}{2} CD$ .

3. Подставим выражение для $CD$ из первого пункта в равенство для $ND$ :
$ND = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot AD) = AD$ .
Таким образом, мы получили, что в треугольнике $AND$ стороны $AD$ и $ND$ равны. Значит, треугольник $AND$ — равнобедренный с основанием $AN$ .

4. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $\angle NAD = \angle AND$ .

5. Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны ( $AB \parallel CD$ ). Отрезок $AN$ является секущей для этих параллельных прямых. Углы $\angle BAN$ и $\angle AND$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AN$ . По свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы равны: $\angle BAN = \angle AND$ .

6. Теперь сопоставим результаты:
— Из пункта 4: $\angle NAD = \angle AND$ ;
— Из пункта 5: $\angle BAN = \angle AND$ .
Отсюда следует, что $\angle BAN = \angle NAD$ .

7. Так как луч $AN$ делит угол $BAD$ на два равных угла, то $AN$ является биссектрисой угла $BAD$ . Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ