Задание №24 — Геометрия

Решение.

1. По условию задачи сторона $CD$ в два раза больше стороны $AD$. Это можно записать в виде равенства: $CD = 2 \cdot AD$.

2. Точка $N$ является серединой стороны $CD$. Следовательно, отрезки $CN$ и $ND$ равны между собой и каждый из них равен половине стороны $CD$:
$CN = ND = \frac{1}{2} CD$.

3. Подставим выражение для $CD$ из первого пункта в равенство для $ND$:
$ND = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot AD) = AD$.
Таким образом, мы получили, что в треугольнике $AND$ стороны $AD$ и $ND$ равны. Значит, треугольник $AND$ — равнобедренный с основанием $AN$.

4. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $\angle NAD = \angle AND$.

5. Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны ($AB \parallel CD$). Отрезок $AN$ является секущей для этих параллельных прямых. Углы $\angle BAN$ и $\angle AND$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AN$. По свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы равны: $\angle BAN = \angle AND$.

6. Теперь сопоставим результаты:
— Из пункта 4: $\angle NAD = \angle AND$;
— Из пункта 5: $\angle BAN = \angle AND$.
Отсюда следует, что $\angle BAN = \angle NAD$.

7. Так как луч $AN$ делит угол $BAD$ на два равных угла, то $AN$ является биссектрисой угла $BAD$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ