Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24Среднее
Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что BM — биссектриса угла ABC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD = 16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Сложное
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
Многоугольники
Задание №24
№24Сложное
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы CC₁ A₁ и CAA₁ равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, BD = 15. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Лёгкое
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Лёгкое
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 9 и 36, BD = 18. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине…
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 6 и 24, BD = 12. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 32, BD = 8. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

Сторона $C D$ параллелограмма $A B C D$ вдвое больше стороны $A D$ .
Точка $N$ $—$ середина стороны $C D$ . Докажите, что $A N$ $—$ биссектриса
угла $B A D$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. По условию задачи сторона $CD$ в два раза больше стороны $AD$ . Это можно записать в виде равенства: $CD = 2 \cdot AD$ .

2. Точка $N$ является серединой стороны $CD$ . Следовательно, отрезки $CN$ и $ND$ равны между собой и каждый из них равен половине стороны $CD$ :
$CN = ND = \frac{1}{2} CD$ .

3. Подставим выражение для $CD$ из первого пункта в равенство для $ND$ :
$ND = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot AD) = AD$ .
Таким образом, мы получили, что в треугольнике $AND$ стороны $AD$ и $ND$ равны. Значит, треугольник $AND$ — равнобедренный с основанием $AN$ .

4. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $\angle NAD = \angle AND$ .

5. Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны ( $AB \parallel CD$ ). Отрезок $AN$ является секущей для этих параллельных прямых. Углы $\angle BAN$ и $\angle AND$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AN$ . По свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы равны: $\angle BAN = \angle AND$ .

6. Теперь сопоставим результаты:
— Из пункта 4: $\angle NAD = \angle AND$ ;
— Из пункта 5: $\angle BAN = \angle AND$ .
Отсюда следует, что $\angle BAN = \angle NAD$ .

7. Так как луч $AN$ делит угол $BAD$ на два равных угла, то $AN$ является биссектрисой угла $BAD$ . Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ