Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость моторной лодки в неподвижной воде. По условию задачи скорость течения реки равна $3$ км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки составляет $(x + 3)$ км/ч, а скорость лодки против течения — $(x - 3)$ км/ч. Скорость плота совпадает со скоростью течения реки и равна $3$ км/ч.

Шаг 1: Найдём время движения плота.
Плот проплыл $51$ км со скоростью $3$ км/ч. Время его движения составило:
$t_{плота} = \frac{51}{3} = 17$ (часов).

Шаг 2: Найдём время движения лодки.
Лодка вышла на $1$ час позже плота и вернулась в пункт А в тот же момент, когда плот закончил своё движение. Значит, лодка находилась в пути на $1$ час меньше, чем плот:
$t_{лодки} = 17 - 1 = 16$ (часов).

Шаг 3: Составим уравнение.
Лодка прошла путь от А до В ($140$ км) по течению и путь от В до А ($140$ км) против течения. Общее время движения лодки складывается из времени пути по течению и времени пути против течения:
$\frac{140}{x + 3} + \frac{140}{x - 3} = 16$

Шаг 4: Решим полученное уравнение.
Разделим обе части уравнения на $4$, чтобы упростить вычисления:
$\frac{35}{x + 3} + \frac{35}{x - 3} = 4$
Приведём дроби к общему знаменателю $(x + 3)(x - 3) = x^2 - 9$:
$\frac{35(x - 3) + 35(x + 3)}{x^2 - 9} = 4$
$\frac{35x - 105 + 35x + 105}{x^2 - 9} = 4$
$\frac{70x}{x^2 - 9} = 4$
$4(x^2 - 9) = 70x$
$4x^2 - 36 = 70x$
$4x^2 - 70x - 36 = 0$
Разделим на $2$:
$2x^2 - 35x - 18 = 0$

Найдём дискриминант:
$D = (-35)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 1225 + 144 = 1369 = 37^2$
Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{35 + 37}{2 \cdot 2} = \frac{72}{4} = 18$
$x_2 = \frac{35 - 37}{4} = \frac{-2}{4} = -0,5$

Так как скорость лодки должна быть положительной величиной, корень $x_2 = -0,5$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, собственная скорость лодки равна $18$ км/ч.

Ответ: 18 км/ч.

Источник: ФИПИ