Задание №24 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. По свойству параллелограмма противоположные стороны параллельны, значит, $BC \parallel AD$. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^{\circ}$. Следовательно, $\angle BCD + \angle ADC = 180^{\circ}$.

2) Так как $CL$ — биссектриса угла $C$, то $\angle BCL = \angle DCL = \frac{1}{2} \angle BCD$.
Так как $DL$ — биссектриса угла $D$, то $\angle ADL = \angle CDL = \frac{1}{2} \angle ADC$.

3) Рассмотрим прямые $AB$ и $CD$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $AB \parallel CD$.
Для параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $CL$ накрест лежащие углы равны. Значит, $\angle BLC = \angle DCL$.
Поскольку $\angle BCL = \angle DCL$ (по определению биссектрисы), получаем, что $\angle BLC = \angle BCL$.
Следовательно, треугольник $BCL$ — равнобедренный с основанием $CL$, откуда $BC = BL$.

4) Аналогично рассмотрим параллельные прямые $AB$ и $CD$ и секущую $DL$. Накрест лежащие углы равны: $\angle ALD = \angle CDL$.
Так как $\angle ADL = \angle CDL$ (по определению биссектрисы), получаем, что $\angle ALD = \angle ADL$.
Следовательно, треугольник $ADL$ — равнобедренный с основанием $DL$, откуда $AD = AL$.

5) В параллелограмме противоположные стороны равны, то есть $BC = AD$.
Из предыдущих шагов мы получили: $BL = BC$ и $AL = AD$.
Так как $BC = AD$, то и $BL = AL$.

6) Поскольку точка $L$ лежит на стороне $AB$ и делит её на два равных отрезка ($AL = BL$), то точка $L$ является серединой стороны $AB$. Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ