Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24
Сторона B C параллелограмма A B C D вдвое больше стороны C D . Точка K — середина стороны B C . Докажите, что D K — биссектриса угла A D C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Сторона A D параллелограмма A B C D вдвое больше стороны A B . Точка M — середина стороны A D . Докажите, что B M — биссектриса угла A B C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 4 и 64, B D = 16 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Внутри параллелограмма A B C D выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников B E C и A E D равна половине площади параллел…
Многоугольники
Задание №24
№24
В остроугольном треугольнике A B C проведены высоты A A_1 и C C_1 . Докажите, что углы C C_1 A_1 и C A A_1 равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 45, B D = 15 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
В выпуклом четырёхугольнике A B C D углы C D B и C A B равны. Докажите, что углы B C A и B D A также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 9 и 36, B D = 18 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
На средней линии трапеции A B C D с основаниями A D и B C выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников B F C и A F D равн…
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 6 и 24, B D = 12 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 20, B D = 10 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 2 и 32, B D = 8 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

Биссектрисы углов $C$ и $D$ параллелограмма $A B C D$ пересекаются
в точке $L$ , лежащей на стороне $A B$ . Докажите, что $L$ $—$ середина $A B$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Рассмотрим параллелограмм $ABCD$ . По свойству параллелограмма противоположные стороны параллельны, значит, $BC \parallel AD$ . Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^{\circ}$ . Следовательно, $\angle BCD + \angle ADC = 180^{\circ}$ .

2) Так как $CL$ — биссектриса угла $C$ , то $\angle BCL = \angle DCL = \frac{1}{2} \angle BCD$ .
Так как $DL$ — биссектриса угла $D$ , то $\angle ADL = \angle CDL = \frac{1}{2} \angle ADC$ .

3) Рассмотрим прямые $AB$ и $CD$ . Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $AB \parallel CD$ .
Для параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $CL$ накрест лежащие углы равны. Значит, $\angle BLC = \angle DCL$ .
Поскольку $\angle BCL = \angle DCL$ (по определению биссектрисы), получаем, что $\angle BLC = \angle BCL$ .
Следовательно, треугольник $BCL$ — равнобедренный с основанием $CL$ , откуда $BC = BL$ .

4) Аналогично рассмотрим параллельные прямые $AB$ и $CD$ и секущую $DL$ . Накрест лежащие углы равны: $\angle ALD = \angle CDL$ .
Так как $\angle ADL = \angle CDL$ (по определению биссектрисы), получаем, что $\angle ALD = \angle ADL$ .
Следовательно, треугольник $ADL$ — равнобедренный с основанием $DL$ , откуда $AD = AL$ .

5) В параллелограмме противоположные стороны равны, то есть $BC = AD$ .
Из предыдущих шагов мы получили: $BL = BC$ и $AL = AD$ .
Так как $BC = AD$ , то и $BL = AL$ .

6) Поскольку точка $L$ лежит на стороне $AB$ и делит её на два равных отрезка ( $AL = BL$ ), то точка $L$ является серединой стороны $AB$ . Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ