Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для построения графика функции $y = x^{2} + 3x - 4|x + 2| + 2$ необходимо раскрыть модуль по определению. Выражение под модулем $x + 2$ меняет знак в точке $x = -2$.

1. Рассмотрим случай $x + 2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$:
В этом случае $|x + 2| = x + 2$. Подставим это в уравнение функции:
$y = x^{2} + 3x - 4(x + 2) + 2$
$y = x^{2} + 3x - 4x - 8 + 2$
$y = x^{2} - x - 6$
Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины:
$x_{0} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = 0,5$
$y_{0} = (0,5)^{2} - 0,5 - 6 = 0,25 - 0,5 - 6 = -6,25$
Вершина параболы: $(0,5; -6,25)$.
Значение функции на границе участка при $x = -2$:
$y(-2) = (-2)^{2} - (-2) - 6 = 4 + 2 - 6 = 0$.

2. Рассмотрим случай $x + 2 < 0$, то есть $x < -2$:
В этом случае $|x + 2| = -(x + 2) = -x - 2$. Подставим в уравнение:
$y = x^{2} + 3x - 4(-x - 2) + 2$
$y = x^{2} + 3x + 4x + 8 + 2$
$y = x^{2} + 7x + 10$
Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины:
$x_{0} = -\frac{b}{2a} = -\frac{7}{2 \cdot 1} = -3,5$
$y_{0} = (-3,5)^{2} + 7 \cdot (-3,5) + 10 = 12,25 - 24,5 + 10 = -2,25$
Вершина параболы: $(-3,5; -2,25)$.
Значение функции на границе участка при $x = -2$:
$y(-2) = (-2)^{2} + 7 \cdot (-2) + 10 = 4 - 14 + 10 = 0$.

3. Анализ количества общих точек с прямой $y = m$:
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Количество общих точек с графиком зависит от значения $m$:
— При $m < -6,25$ точек нет.
— При $m = -6,25$ одна точка (вершина правой параболы).
— При $-6,25 < m < -2,25$ две точки.
— При $m = -2,25$ ровно три точки (вершина левой параболы и две точки на ветвях правой параболы).
— При $-2,25 < m < 0$ четыре точки.
— При $m = 0$ ровно три точки (точка стыка парабол $(-2; 0)$ и две точки на внешних ветвях).
— При $m > 0$ две точки.

Таким образом, ровно три общие точки график имеет при $m = -2,25$ и $m = 0$.

Ответ: -2,25; 0

Источник: ФИПИ