Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Преобразуем выражение функции.
Для начала определим область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю:
$|x| - 2,5x^2 \neq 0$
Заметим, что $x^2 = |x|^2$. Тогда уравнение принимает вид:
$|x| - 2,5|x|^2 = 0$
$|x|(1 - 2,5|x|) = 0$
Отсюда $|x| \neq 0$ (то есть $x \neq 0$) и $1 - 2,5|x| \neq 0$, что дает $|x| \neq \frac{1}{2,5} = 0,4$.
Значит, $x \neq 0$, $x \neq 0,4$ и $x \neq -0,4$.

Теперь упростим саму дробь:
$y = \frac{2,5|x| - 1}{|x| - 2,5|x|^2}$
Вынесем в знаменателе $-|x|$ за скобки:
$y = \frac{2,5|x| - 1}{-|x|(2,5|x| - 1)}$
Сократим дробь на $(2,5|x| - 1)$, учитывая область определения:
$y = -\frac{1}{|x|}$

2. Построение графика.
График функции $y = -\frac{1}{|x|}$ состоит из двух ветвей гипербол:
— При $x > 0$ это $y = -\frac{1}{x}$ (четвертая четверть).
— При $x < 0$ это $y = \frac{1}{x}$ (третья четверть).
График симметричен относительно оси $Oy$.
Важно «выколоть» точки, не входящие в область определения:
При $x = 0,4$: $y = -\frac{1}{0,4} = -2,5$. Точка $(0,4; -2,5)$.
При $x = -0,4$: $y = -\frac{1}{|-0,4|} = -2,5$. Точка $(-0,4; -2,5)$.
Точка с абсциссой $x = 0$ и так не принадлежит графику, так как это вертикальная асимптота.

3. Исследование пересечений с прямой $y = kx$.
Прямая $y = kx$ проходит через начало координат. Она не будет иметь общих точек с графиком в следующих случаях:
а) Если прямая проходит через «выколотые» точки.
Подставим координаты точки $(0,4; -2,5)$:
$-2,5 = k \cdot 0,4 \implies k = -\frac{2,5}{0,4} = -6,25$.
Подставим координаты точки $(-0,4; -2,5)$:
$-2,5 = k \cdot (-0,4) \implies k = \frac{2,5}{0,4} = 6,25$.

б) Если прямая не пересекает ветви гиперболы.
Рассмотрим уравнение $kx = -\frac{1}{|x|}$.
Для $x > 0$: $kx = -\frac{1}{x} \implies kx^2 = -1$. Это уравнение не имеет корней при $k \geq 0$.
Для $x < 0$: $kx = \frac{1}{x} \implies kx^2 = 1$. Это уравнение не имеет корней при $k \leq 0$.
Единственное значение $k$, удовлетворяющее обоим условиям отсутствия пересечений с ветвями — это $k = 0$ (горизонтальная прямая $y = 0$, которая является асимптотой).

Таким образом, прямая не имеет общих точек при $k = -6,25$, $k = 0$ и $k = 6,25$.

Ответ: -6,25; 0; 6,25.

Источник: ФИПИ