Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для того чтобы построить график функции $y = x|x| + 3|x| - 5x$, необходимо раскрыть модули. Выражение под знаком модуля — это $x$. Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$.

1. Случай $x \ge 0$:
Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Подставим это в формулу функции:
$y = x \cdot x + 3 \cdot x - 5x$
$y = x^2 + 3x - 5x$
$y = x^2 - 2x$
Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$
$y_0 = 1^2 - 2 \cdot 1 = -1$
Вершина в точке $(1; -1)$. Точки пересечения с осью $Ox$: $x(x - 2) = 0$, то есть $x = 0$ и $x = 2$.

2. Случай $x < 0$:
Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Подставим это в формулу функции:
$y = x \cdot (-x) + 3 \cdot (-x) - 5x$
$y = -x^2 - 3x - 5x$
$y = -x^2 - 8x$
Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты вершины параболы:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot (-1)} = -4$
$y_0 = -(-4)^2 - 8 \cdot (-4) = -16 + 32 = 16$
Вершина в точке $(-4; 16)$. Точки пересечения с осью $Ox$: $-x(x + 8) = 0$, то есть $x = 0$ и $x = -8$.

3. Анализ количества общих точек с прямой $y = m$:
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти такие значения $m$, при которых эта прямая пересекает построенный график ровно в двух точках.
Посмотрим на характерные точки графика:
- При $m < -1$ прямая пересекает только левую ветвь параболы (1 точка).
- При $m = -1$ прямая проходит через вершину правой параболы $(1; -1)$ и пересекает левую ветвь. Итого 2 точки.
- При $-1 < m < 0$ прямая пересекает график в 3 точках.
- При $m = 0$ прямая проходит через начало координат $(0; 0)$ и еще две точки на ветвях парабол. Итого 3 точки.
- При $0 < m < 16$ прямая пересекает график в 3 точках.
- При $m = 16$ прямая проходит через вершину левой параболы $(-4; 16)$ и пересекает правую ветвь. Итого 2 точки.
- При $m > 16$ прямая пересекает только правую ветвь параболы (1 точка).

Таким образом, ровно две общие точки будут при $m = -1$ и $m = 16$.

Ответ: -1; 16

Источник: ФИПИ