Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Область определения функции.
Функция определена, когда знаменатель не равен нулю:
$1 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.
Это значит, что на графике точка с абсциссой $x = 1$ будет «выколотой».

2. Упрощение выражения.
Заметим, что в числителе есть множитель $(x - 1)$, а в знаменателе — $(1 - x)$. Эти выражения противоположны по знаку: $(1 - x) = -(x - 1)$.
Сократим дробь при условии $x \neq 1$:
$y = \frac{(x^2 + 6,25)(x - 1)}{-(x - 1)} = -(x^2 + 6,25) = -x^2 - 6,25$.
Таким образом, графиком функции является парабола $y = -x^2 - 6,25$ с «выколотой» точкой.

3. Построение графика.
График $y = -x^2 - 6,25$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина находится в точке $(0; -6,25)$.
Найдём координаты «выколотой» точки: подставим $x = 1$ в упрощённое уравнение:
$y(1) = -1^2 - 6,25 = -1 - 6,25 = -7,25$.
Точка с координатами $(1; -7,25)$ не принадлежит графику.

4. Исследование количества общих точек с прямой $y = kx$.
Прямая $y = kx$ проходит через начало координат. Она будет иметь с графиком ровно одну общую точку в двух случаях:

Случай А: Прямая проходит через «выколотую» точку $(1; -7,25)$.
В этом случае прямая пересекает параболу в двух точках, но одна из них (выколотая) не считается. Подставим координаты точки в уравнение прямой:
$-7,25 = k \cdot 1 \Rightarrow k = -7,25$.

Случай Б: Прямая касается параболы.
Для этого уравнение $kx = -x^2 - 6,25$ должно иметь ровно одно решение.
Приведём уравнение к квадратному виду: $x^2 + kx + 6,25 = 0$.
Уравнение имеет один корень, когда дискриминант $D$ равен нулю:
$D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6,25 = k^2 - 25$.
$k^2 - 25 = 0 \Rightarrow k^2 = 25 \Rightarrow k = 5$ или $k = -5$.

Проверим, не совпадают ли точки касания с выколотой точкой.
Если $k = 5$, то $x^2 + 5x + 6,25 = 0 \Rightarrow (x + 2,5)^2 = 0 \Rightarrow x = -2,5$ (подходит).
Если $k = -5$, то $x^2 - 5x + 6,25 = 0 \Rightarrow (x - 2,5)^2 = 0 \Rightarrow x = 2,5$ (подходит).

Ответ: -7,25; -5; 5

Источник: ФИПИ