Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим полуокружность, построенную на стороне $BC$ как на диаметре. Пусть эта полуокружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Так как $BC$ — диаметр, то углы $\angle BPC$ и $\angle BKC$, опирающиеся на него, являются прямыми ($90^\circ$).

2) Отрезки $CP$ и $BK$ являются высотами треугольника $ABC$, так как они перпендикулярны сторонам $AB$ и $AC$. По условию $H$ — точка пересечения высот (ортоцентр) треугольника $ABC$. Значит, точка $H$ лежит на высоте $AD$, а также на высотах $CP$ и $BK$.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$. В нём отрезок $HK$ не является просто отрезком, заметим подобие треугольников. Треугольники $\triangle AHK$ и $\triangle ACD$ подобны по общему острому углу $A$ (оба прямоугольные, так как $BK \perp AC$ и $AD \perp BC$). Из подобия следует:
$\frac{AH}{AC} = \frac{AK}{AD}$, откуда $AH \cdot AD = AC \cdot AK$.

4) Вспомним свойство секущих, проведённых из одной точки к окружности. Для точки $A$ и секущей $ACK$ (где $K$ лежит на окружности) и секущей, проходящей через диаметр, это свойство работает. Однако удобнее воспользоваться свойством касательной и секущей или просто произведением отрезков секущих. Для окружности, построенной на $BC$, точка $M$ лежит на окружности, а прямая $ADM$ является секущей.
По свойству секущих для точки $A$: $AC \cdot AK = AM \cdot AN$, где $N$ — вторая точка пересечения прямой $AD$ с полной окружностью. Но так как $BC$ — диаметр, а $AD \perp BC$, то хорда, перпендикулярная диаметру, делится им пополам. Если мы продлим полуокружность до полной окружности, то точка $D$ будет серединой хорды между $M$ и её симметричной точкой. Однако в данной задаче нам достаточно рассмотреть точку $M$ на полуокружности.

5) Воспользуемся свойством точки $M$ на окружности с диаметром $BC$. Если $O$ — середина $BC$, то $OM$ — радиус. Но проще использовать тот факт, что произведение отрезков хорд (или отрезков секущих) связано с высотой. Для точки $D$, лежащей на диаметре $BC$, произведение отрезков хорды $MD \cdot ( \text{другая часть} ) = BD \cdot DC$. В прямоугольном треугольнике $BHC$ точка $D$ — основание высоты из прямого угла (если бы $H$ лежала на окружности), но это не так.
Вернёмся к пункту 3: $AH \cdot AD = AC \cdot AK$.
По свойству секущей $AC \cdot AK$ для окружности, на которой лежат точки $M, K, P$, имеем: $AC \cdot AK = AM \cdot ( \text{расстояние до второй точки пересечения} )$.
Пусть прямая $AD$ пересекает окружность в точках $M$ и $M'$. Так как $BC$ — диаметр и $AD \perp BC$, то по свойствам симметрии $MD = DM'$.
Тогда $AM = AD - MD = 9 - 6 = 3$.
Вторая точка пересечения $M'$ находится на расстоянии $AM' = AD + DM' = 9 + 6 = 15$.
Следовательно, $AC \cdot AK = AM \cdot AM' = 3 \cdot 15 = 45$.

6) Теперь подставим полученное значение в формулу из шага 3:
$AH \cdot AD = 45$.
Так как $AD = 9$, получаем:
$AH \cdot 9 = 45$,
$AH = 45 : 9$,
$AH = 5$.

Ответ: 5

Источник: ФИПИ