Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Область определения функции.
Функция определена при всех значениях $x$, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю.
$x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.
Таким образом, область определения: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Упрощение выражения.
Вынесем общий множитель $0,5x$ в числителе:
$y = \frac{0,5x(x - 1) \cdot |x|}{x - 1}$.
При $x \neq 1$ мы можем сократить дробь на $(x - 1)$:
$y = 0,5x \cdot |x|$.

3. Раскрытие модуля.
Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$:
а) Если $x \geq 0$ (и $x \neq 1$), то $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = 0,5x^2$.
Это ветвь параболы, направленная вверх, с вершиной в точке $(0; 0)$.
б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид: $y = -0,5x^2$.
Это ветвь параболы, направленная вниз, с вершиной в точке $(0; 0)$.

4. Построение графика.
График состоит из двух частей парабол. Важно учесть «выколотую» точку.
Найдем значение $y$ в точке $x = 1$, подставив его в упрощенное выражение:
$y(1) = 0,5 \cdot 1^2 = 0,5$.
Значит, точка $(1; 0,5)$ будет пустой (выколотой) на графике.

5. Анализ количества общих точек с прямой $y = m$.
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти такие $m$, при которых эта прямая не пересекает график.
- При $m < 0$ прямая пересекает левую ветвь параболы ($y = -0,5x^2$) в одной точке.
- При $m = 0$ прямая проходит через начало координат $(0; 0)$ — одна общая точка.
- При $m > 0$ прямая пересекает правую ветвь параболы ($y = 0,5x^2$) в одной точке, кроме случая, когда прямая проходит через «выколотую» точку.
Выколотая точка имеет координаты $(1; 0,5)$. Следовательно, при $m = 0,5$ прямая $y = 0,5$ не имеет общих точек с графиком функции.

Ответ: 0,5

Источник: ФИПИ