Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. Проанализируем условие. Трапеция $ABCD$ является прямоугольной, так как $AB \perp BC$. Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), сторона $AB$ перпендикулярна и нижнему основанию $AD$. Таким образом, прямая $AB$ является вертикальной прямой, к которой примыкают горизонтальные основания.

2. Пусть прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$. Рассмотрим треугольники $KBC$ и $KAD$. Они подобны по двум углам (угол $K$ общий, $\angle KBC = \angle KAD = 90^\circ$).
Из подобия следует отношение сторон: $\frac{KC}{KD} = \frac{KB}{KA} = \frac{BC}{AD}$.
Подставим известные значения: $\frac{BC}{AD} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
Значит, $C$ — середина отрезка $KD$, а $B$ — середина отрезка $KA$. То есть $KC = CD$ и $KB = BA$.

3. Воспользуемся свойством касательной и секущей для окружности, проходящей через точки $C$ и $D$. Прямая $KE$ является касательной (так как она лежит на прямой $AB$), а $KD$ — секущей.
По теореме о квадрате касательной: $KE^2 = KC \cdot KD$.
Пусть $KC = x$, тогда $KD = 2x$.
Получаем: $KE^2 = x \cdot 2x = 2x^2$, откуда $KE = x\sqrt{2}$.

4. Нам нужно найти расстояние от точки $E$ до прямой $CD$. Обозначим это расстояние (длину перпендикуляра $EH$) как $h$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $KHE$. В нём $\sin(\angle EKH) = \frac{EH}{KE}$, следовательно, $h = KE \cdot \sin(\angle EKH)$.
Угол $\angle EKH$ — это тот же угол $\angle K$ в прямоугольном треугольнике $KAD$.

5. Найдем синус угла $K$ из треугольника $KAD$.
Сначала найдем $KA$. Проведем высоту трапеции $CP \perp AD$. Тогда $AP = BC = 4$, а $PD = AD - AP = 8 - 4 = 4$.
В прямоугольном треугольнике $CPD$ катет $PD = 4$. Так как $KC = CD$, то $CP$ — средняя линия треугольника $KAD$, значит $KA = 2 \cdot CP$.
Из подобия треугольников $KBC$ и $KAD$ также видно, что $KB = BA$, то есть $KA = 2 \cdot KB$.
В треугольнике $KAD$: $\sin(\angle K) = \frac{AD}{KD} = \frac{8}{2x} = \frac{4}{x}$.

6. Теперь подставим значения в формулу для $h$:
$h = KE \cdot \sin(\angle K) = x\sqrt{2} \cdot \frac{4}{x} = 4\sqrt{2}$.

Заметим, что искомое расстояние не зависит от конкретной высоты трапеции, а определяется только длинами оснований через соотношение подобия.

Ответ: $4\sqrt{2}$

Источник: ФИПИ