Задание №25 — Геометрия

#48279Задание №25ФИПИ

Окружность и круг

В трапеции $A B C D$ боковая сторона $A B$ перпендикулярна основанию $B C$ . Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $A B$ в точке $E$ . Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $C D$ , если $A D = 8$ , $B C = 4$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1. Проанализируем условие. Трапеция $ABCD$ является прямоугольной, так как $AB \perp BC$ . Поскольку основания трапеции параллельны ( $BC \parallel AD$ ), сторона $AB$ перпендикулярна и нижнему основанию $AD$ . Таким образом, прямая $AB$ является вертикальной прямой, к которой примыкают горизонтальные основания.

2. Пусть прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$ . Рассмотрим треугольники $KBC$ и $KAD$ . Они подобны по двум углам (угол $K$ общий, $\angle KBC = \angle KAD = 90^\circ$ ).
Из подобия следует отношение сторон: $\frac{KC}{KD} = \frac{KB}{KA} = \frac{BC}{AD}$ .
Подставим известные значения: $\frac{BC}{AD} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ .
Значит, $C$ — середина отрезка $KD$ , а $B$ — середина отрезка $KA$ . То есть $KC = CD$ и $KB = BA$ .

3. Воспользуемся свойством касательной и секущей для окружности, проходящей через точки $C$ и $D$ . Прямая $KE$ является касательной (так как она лежит на прямой $AB$ ), а $KD$ — секущей.
По теореме о квадрате касательной: $KE^2 = KC \cdot KD$ .
Пусть $KC = x$ , тогда $KD = 2x$ .
Получаем: $KE^2 = x \cdot 2x = 2x^2$ , откуда $KE = x\sqrt{2}$ .

4. Нам нужно найти расстояние от точки $E$ до прямой $CD$ . Обозначим это расстояние (длину перпендикуляра $EH$ ) как $h$ .
Рассмотрим прямоугольный треугольник $KHE$ . В нём $\sin(\angle EKH) = \frac{EH}{KE}$ , следовательно, $h = KE \cdot \sin(\angle EKH)$ .
Угол $\angle EKH$ — это тот же угол $\angle K$ в прямоугольном треугольнике $KAD$ .

5. Найдем синус угла $K$ из треугольника $KAD$ .
Сначала найдем $KA$ . Проведем высоту трапеции $CP \perp AD$ . Тогда $AP = BC = 4$ , а $PD = AD - AP = 8 - 4 = 4$ .
В прямоугольном треугольнике $CPD$ катет $PD = 4$ . Так как $KC = CD$ , то $CP$ — средняя линия треугольника $KAD$ , значит $KA = 2 \cdot CP$ .
Из подобия треугольников $KBC$ и $KAD$ также видно, что $KB = BA$ , то есть $KA = 2 \cdot KB$ .
В треугольнике $KAD$ : $\sin(\angle K) = \frac{AD}{KD} = \frac{8}{2x} = \frac{4}{x}$ .

6. Теперь подставим значения в формулу для $h$ :
$h = KE \cdot \sin(\angle K) = x\sqrt{2} \cdot \frac{4}{x} = 4\sqrt{2}$ .

Заметим, что искомое расстояние не зависит от конкретной высоты трапеции, а определяется только длинами оснований через соотношение подобия.

Ответ: $4\sqrt{2}$

Источник: ФИПИ