Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Преобразуем выражение и определим область определения функции.
Функция задана формулой $y = \frac{(x^2 + 1)(x - 2)}{2 - x}$.
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $2 - x \neq 0$, откуда $x \neq 2$.
Заметим, что выражение в знаменателе отличается от множителя в числителе только знаком: $2 - x = -(x - 2)$.
Сократим дробь при условии $x \neq 2$:
$y = \frac{(x^2 + 1)(x - 2)}{-(x - 2)} = -(x^2 + 1) = -x^2 - 1$.
Таким образом, графиком данной функции является парабола $y = -x^2 - 1$ с «выколотой» точкой, абсцисса которой $x = 2$.

2. Построение графика.
График $y = -x^2 - 1$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина находится в точке $(0; -1)$.
Найдём координаты «выколотой» точки: если $x = 2$, то $y = -(2^2) - 1 = -4 - 1 = -5$. Точка $(2; -5)$ не принадлежит графику.
Дополнительные точки для построения:
Если $x = 1$, то $y = -1^2 - 1 = -2$.
Если $x = -1$, то $y = -(-1)^2 - 1 = -2$.
Если $x = -2$, то $y = -(-2)^2 - 1 = -5$.

3. Исследование количества общих точек с прямой $y = kx$.
Прямая $y = kx$ проходит через начало координат $(0; 0)$.
Ровно одна общая точка с графиком возможна в двух случаях:

Случай А: Прямая касается параболы $y = -x^2 - 1$.
Для этого уравнение $-x^2 - 1 = kx$ должно иметь ровно одно решение.
Перенесём всё в одну сторону: $x^2 + kx + 1 = 0$.
Квадратное уравнение имеет один корень, когда его дискриминант равен нулю:
$D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = k^2 - 4$.
$k^2 - 4 = 0 \Rightarrow k^2 = 4 \Rightarrow k = 2$ или $k = -2$.
Проверим, не попадает ли точка касания в «выколотую» точку $x = 2$.
При $k = 2$: $x^2 + 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x+1)^2 = 0 \Rightarrow x = -1$ (подходит).
При $k = -2$: $x^2 - 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x-1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1$ (подходит).

Случай Б: Прямая проходит через «выколотую» точку $(2; -5)$.
В этом случае прямая пересекает параболу в двух точках, но одна из них исключена из области определения, поэтому общая точка остаётся одна.
Подставим координаты точки $(2; -5)$ в уравнение прямой $y = kx$:
$-5 = k \cdot 2$
$k = -2,5$.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют значения $k = -2,5$, $k = -2$ и $k = 2$.

Ответ: -2,5; -2; 2.

Источник: ФИПИ