Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $a$ — меньшее основание трапеции, $b$ — большее основание, $c$ — боковая сторона. Так как трапеция равнобедренная, её боковые стороны равны.

2) По условию в трапецию можно вписать окружность. Воспользуемся свойством описанного четырёхугольника: суммы противоположных сторон равны. Значит, $a + b = c + c = 2c$.

3) Периметр трапеции равен $P = a + b + 2c = 200$. Подставим выражение из предыдущего шага: $2c + 2c = 200$, откуда $4c = 200$, следовательно, $c = 50$. Тогда сумма оснований $a + b = 2c = 100$.

4) Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$, где $h$ — высота трапеции. Подставим известные значения: $2000 = \frac{100}{2} \cdot h$, то есть $2000 = 50 \cdot h$. Отсюда высота $h = \frac{2000}{50} = 40$.

5) Найдём длины оснований. Проведём высоты из вершин верхнего основания к нижнему. Отрезки на нижнем основании будут равны $\frac{b - a}{2}$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, высотой и этим отрезком: $(\frac{b - a}{2})^2 + h^2 = c^2$.
$(\frac{b - a}{2})^2 + 40^2 = 50^2$
$(\frac{b - a}{2})^2 = 2500 - 1600 = 900$
$\frac{b - a}{2} = 30$, значит $b - a = 60$.

6) Имеем систему уравнений:
$\begin{cases} a + b = 100 \\ b - a = 60 \end{cases}$
Сложив уравнения, получим $2b = 160$, откуда $b = 80$. Тогда $a = 100 - 80 = 20$.

7) Рассмотрим треугольники, образованные основаниями и точкой пересечения диагоналей. Эти треугольники подобны по двум углам (накрест лежащие углы при параллельных прямых $a$ и $b$ и секущих-диагоналях). Коэффициент подобия $k = \frac{a}{b} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}$.

8) Пусть $h_1$ — расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания, а $h_2$ — до большего. Тогда $h_1 + h_2 = h = 40$. Из подобия треугольников следует, что их высоты относятся так же, как основания: $\frac{h_1}{h_2} = \frac{a}{b} = \frac{1}{4}$, то есть $h_2 = 4h_1$.

9) Подставим в сумму высот: $h_1 + 4h_1 = 40$, откуда $5h_1 = 40$, следовательно, $h_1 = 8$.

Ответ: 8

Источник: ФИПИ