Задание 25

Геометрическая задача повышенной сложности · 160 заданий

Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Треугольник
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Треугольник
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Треугольник
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP…
Треугольник
Задание №25
№25Сложное
На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD = 9, MD = 6, H — точка пе…
Окружность и круг
Задание №25
№25Среднее
В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстоя…
Окружность и круг
Задание №25
№25Лёгкое
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагона…
Многоугольники

Задание №25 — Геометрия

В треугольнике $A B C$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую
из вершины $B$ , в отношении $17 : 15$ , считая от точки $B$ . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $A B C$ , если $B C = 16$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Пусть $BH$ — высота треугольника $ABC$ , проведённая к стороне $AC$ . Пусть $AL$ — биссектриса угла $A$ . Обозначим точку пересечения биссектрисы $AL$ и высоты $BH$ как точку $O$ .

2. По условию задачи $BO : OH = 17 : 15$ . Рассмотрим треугольник $ABH$ . В этом треугольнике отрезок $AO$ является биссектрисой угла $A$ (так как $AO$ лежит на биссектрисе $AL$ ).

3. Воспользуемся свойством биссектрисы треугольника: биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для треугольника $ABH$ и биссектрисы $AO$ имеем:
$\frac{AB}{AH} = \frac{BO}{OH} = \frac{17}{15}$ .

4. Пусть $AB = 17x$ , тогда $AH = 15x$ . Из прямоугольного треугольника $ABH$ по теореме Пифагора найдём высоту $BH$ :
$BH^2 = AB^2 - AH^2 = (17x)^2 - (15x)^2 = 289x^2 - 225x^2 = 64x^2$ .
Следовательно, $BH = 8x$ .

5. Теперь найдём синус угла $A$ из прямоугольного треугольника $ABH$ :
$\sin A = \frac{BH}{AB} = \frac{8x}{17x} = \frac{8}{17}$ .

6. По теореме синусов для треугольника $ABC$ :
$\frac{BC}{\sin A} = 2R$ , где $R$ — радиус описанной окружности.
Подставим известные значения $BC = 16$ и $\sin A = \frac{8}{17}$ :
$2R = \frac{16}{8/17} = 16 \cdot \frac{17}{8} = 2 \cdot 17 = 34$ .

7. Найдём радиус:
$R = \frac{34}{2} = 17$ .

Ответ: 17

Источник: ФИПИ