Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. Пусть $BH$ — высота треугольника $ABC$, проведённая к стороне $AC$. Пусть $AL$ — биссектриса угла $A$. Обозначим точку пересечения биссектрисы $AL$ и высоты $BH$ как точку $O$.

2. По условию задачи $BO : OH = 17 : 15$. Рассмотрим треугольник $ABH$. В этом треугольнике отрезок $AO$ является биссектрисой угла $A$ (так как $AO$ лежит на биссектрисе $AL$).

3. Воспользуемся свойством биссектрисы треугольника: биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для треугольника $ABH$ и биссектрисы $AO$ имеем:
$\frac{AB}{AH} = \frac{BO}{OH} = \frac{17}{15}$.

4. Пусть $AB = 17x$, тогда $AH = 15x$. Из прямоугольного треугольника $ABH$ по теореме Пифагора найдём высоту $BH$:
$BH^2 = AB^2 - AH^2 = (17x)^2 - (15x)^2 = 289x^2 - 225x^2 = 64x^2$.
Следовательно, $BH = 8x$.

5. Теперь найдём синус угла $A$ из прямоугольного треугольника $ABH$:
$\sin A = \frac{BH}{AB} = \frac{8x}{17x} = \frac{8}{17}$.

6. По теореме синусов для треугольника $ABC$:
$\frac{BC}{\sin A} = 2R$, где $R$ — радиус описанной окружности.
Подставим известные значения $BC = 16$ и $\sin A = \frac{8}{17}$:
$2R = \frac{16}{8/17} = 16 \cdot \frac{17}{8} = 2 \cdot 17 = 34$.

7. Найдём радиус:
$R = \frac{34}{2} = 17$.

Ответ: 17

Источник: ФИПИ