Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Для того чтобы построить график функции $y = |x^2 + 5x + 6|$, сначала рассмотрим вспомогательную функцию $f(x) = x^2 + 5x + 6$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

1. Найдем координаты вершины параболы $y = x^2 + 5x + 6$:
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2 \cdot 1} = -2,5$.
Ордината вершины: $y_0 = (-2,5)^2 + 5 \cdot (-2,5) + 6 = 6,25 - 12,5 + 6 = -0,25$.
Таким образом, вершина находится в точке $(-2,5; -0,25)$.

2. Найдем точки пересечения параболы с осью $Ox$ (нули функции):
Решим уравнение $x^2 + 5x + 6 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни:
$x_1 = -2$, $x_2 = -3$.
Точки пересечения: $(-2; 0)$ и $(-3; 0)$.

3. Построение графика с модулем:
Функция $y = |x^2 + 5x + 6|$ получается из параболы $y = x^2 + 5x + 6$ следующим образом: те части графика, которые лежат выше оси $Ox$ или на ней, остаются без изменений. Часть параболы, лежащая ниже оси $Ox$ (вершина и прилегающая область), зеркально отражается относительно оси $Ox$ вверх.
После отражения вершина параболы перейдет из точки $(-2,5; -0,25)$ в точку $(-2,5; 0,25)$.

4. Исследование количества общих точек с прямой, параллельной оси абсцисс:
Прямая, параллельная оси абсцисс (оси $Ox$), задается уравнением $y = c$, где $c$ — некоторое число.
- Если $c < 0$, прямая лежит ниже оси $Ox$ и не имеет общих точек с графиком.
- Если $c = 0$, прямая совпадает с осью $Ox$ и имеет 2 общие точки (корни $-2$ и $-3$).
- Если $0 < c < 0,25$, прямая пересекает "боковые" ветви параболы и две ветви отраженной части. В этом случае будет 4 общие точки.
- Если $c = 0,25$, прямая проходит через отраженную вершину. В этом случае будет 3 общие точки.
- Если $c > 0,25$, прямая пересекает только две внешние ветви параболы. В этом случае будет 2 общие точки.

Следовательно, наибольшее число общих точек равно 4.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ