Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. Пусть $O$ — точка пересечения биссектрисы $BE$ и медианы $AD$. По условию $BE \perp AD$. Рассмотрим треугольник $ABD$. В нём отрезок $BO$ является биссектрисой (так как лежит на $BE$) и высотой (так как $BE \perp AD$).

2. Если в треугольнике биссектриса совпадает с высотой, то такой треугольник равнобедренный. Значит, $AB = BD$. Так как $AD$ — медиана треугольника $ABC$, то точка $D$ — середина стороны $BC$, следовательно, $BC = 2 \cdot BD = 2 \cdot AB$. Пусть $AB = x$, тогда $BC = 2x$.

3. В равнобедренном треугольнике $ABD$ высота $BO$ также является медианой, поэтому $AO = OD = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 40 = 20$.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$. По теореме Пифагора: $AB^2 = AO^2 + BO^2$. Обозначим $BO = y$. Тогда $x^2 = 20^2 + y^2$.
Так как $BE = 40$, то $OE = BE - BO = 40 - y$.

5. Воспользуемся свойством биссектрисы $BE$ в треугольнике $ABC$: она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$. Значит, $EC = 2 \cdot AE$, а вся сторона $AC = 3 \cdot AE$.

6. В треугольнике $ADC$ отрезок $OE$ параллелен $DC$ быть не может, но мы можем применить теорему Менелая для треугольника $BCE$ и прямой $AD$, либо воспользоваться методом масс. Однако проще рассмотреть треугольник $AOE$ и треугольник $ADC$. Проведём через точку $D$ прямую $DK \parallel BE$ (где $K$ лежит на $AC$). Тогда $DK$ — средняя линия треугольника $BCE$, значит $DK = \frac{1}{2} BE = 20$ и $K$ — середина $EC$.
Тогда $AE = EK = KC$. Из подобия треугольников $AOE$ и $ADK$ (по двум углам) следует: $\frac{OE}{DK} = \frac{AO}{AD} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}$.
Отсюда $OE = \frac{1}{2} DK = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$.

7. Теперь найдём $BO$: $BO = BE - OE = 40 - 10 = 30$.
Найдём стороны:
Из треугольника $AOB$: $AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{20^2 + 30^2} = \sqrt{400 + 900} = \sqrt{1300} = 10\sqrt{13}$.
Тогда $BC = 2 \cdot AB = 20\sqrt{13}$.

8. Найдём $AC$. Из треугольника $AOE$: $AE = \sqrt{AO^2 + OE^2} = \sqrt{20^2 + 10^2} = \sqrt{400 + 100} = \sqrt{500} = 10\sqrt{5}$.
Так как $AC = 3 \cdot AE$, то $AC = 3 \cdot 10\sqrt{5} = 30\sqrt{5}$.

Ответ: $10\sqrt{13}$, $20\sqrt{13}$, $30\sqrt{5}$.

Источник: ФИПИ