Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Область определения функции.
Функция содержит дробь, поэтому знаменатель не может быть равен нулю:
$x^2 + 4x \neq 0$
$x(x + 4) \neq 0$
Отсюда $x \neq 0$ и $x \neq -4$.
Таким образом, область определения функции — все действительные числа, кроме $0$ и $-4$.

2. Упрощение выражения.
Разложим знаменатель дроби на множители и сократим выражение:
$y = -2 - \frac{x + 4}{x(x + 4)}$
При условии $x \neq -4$ мы можем сократить дробь на $(x + 4)$:
$y = -2 - \frac{1}{x}$
Итак, график данной функции совпадает с графиком гиперболы $y = -\frac{1}{x} - 2$, из которого «выколота» точка с абсциссой $x = -4$.

3. Построение графика.
График $y = -\frac{1}{x} - 2$ получается из стандартной гиперболы $y = -\frac{1}{x}$ сдвигом вниз на $2$ единицы. У этой гиперболы есть горизонтальная асимптота $y = -2$.
Найдём координаты «выколотой» точки. Подставим $x = -4$ в упрощённое уравнение:
$y(-4) = -2 - \frac{1}{-4} = -2 + 0,25 = -1,75$.
Значит, точка с координатами $(-4; -1,75)$ будет пустой (выколотой) на графике.

4. Анализ количества общих точек с прямой $y = m$.
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Она не будет иметь с графиком общих точек в двух случаях:
1) Если прямая совпадает с горизонтальной асимптотой гиперболы. В нашем случае это прямая $y = -2$. Уравнение $-2 = -2 - \frac{1}{x}$ превращается в $0 = -\frac{1}{x}$, что не имеет решений.
2) Если прямая проходит через «выколотую» точку графика. Мы нашли, что при $x = -4$ значение функции должно было быть $-1,75$. Значит, прямая $y = -1,75$ не встретит график функции, так как в этой точке график прерывается.

Таким образом, искомые значения $m$ — это $-2$ и $-1,75$.

Ответ: -2; -1,75

Источник: ФИПИ