Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим полуокружность, построенную на стороне $BC$ как на диаметре. Пусть эта полуокружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $K$ и $P$ соответственно. Так как $BC$ — диаметр, то углы $\angle BKC$ и $\angle BPC$, опирающиеся на него, являются прямыми ($90^\circ$).

2. Отрезки $CK$ и $BP$ являются высотами треугольника $ABC$, так как они перпендикулярны сторонам $AB$ и $AC$. По условию $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$. Значит, точка $H$ лежит на высоте $AD$, а также на высотах $CK$ и $BP$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$. В нём $CP$ — высота, проведённая к гипотенузе $AD$ (так как $BP \perp AC$, то и $H$ лежит на этой линии). Однако удобнее рассмотреть подобие треугольников. Треугольники $\triangle APH$ и $\triangle ADC$ подобны по двум углам (угол $\angle DAC$ общий, $\angle APH = \angle ADC = 90^\circ$).
Из подобия следует: $\frac{AH}{AC} = \frac{AP}{AD}$, откуда $AH \cdot AD = AC \cdot AP$.

4. Вспомним свойство секущих, проведённых из одной точки к окружности. Для точки $A$ и окружности, построенной на $BC$, секущими являются $AC$ (пересекает в точке $P$) и $AB$ (пересекает в точке $K$). Также у нас есть прямая $AD$, которая пересекает полуокружность в точке $M$. Продлим полуокружность до полной окружности. Тогда прямая $AD$ пересечёт её в двух точках. Пусть вторая точка пересечения — $M'$. По свойству симметрии относительно диаметра $BC$, точка $D$ является серединой хорды $MM'$. Однако в нашей задаче точка $M$ лежит на высоте $AD$. Воспользуемся свойством касательной и секущей или просто свойством произведения отрезков секущих.

5. Точка $M$ лежит на окружности с диаметром $BC$. По свойству произведения отрезков секущих для точки $A$:
$AM \cdot AM' = AP \cdot AC$.
Так как $AD \perp BC$, то точка $M'$ симметрична точке $M$ относительно прямой $BC$. Но в условии сказано, что $M$ — точка пересечения высоты $AD$ с полуокружностью. Найдём отрезок $AM$.
По условию $AD = 16$, $MD = 4$. Тогда $AM = AD - MD = 16 - 4 = 12$.
Пусть $O$ — центр окружности (середина $BC$). Продолжим высоту $AD$ до пересечения с полной окружностью в точке $M'$. Так как диаметр $BC$ перпендикулярен хорде $MM'$, то $D$ — середина $MM'$, значит $DM' = MD = 4$.
Тогда $AM' = AD + DM' = 16 + 4 = 20$.

6. Применим свойство секущих $AC$ и $AM'$ для окружности:
$AP \cdot AC = AM \cdot AM'$.
Подставим значения: $AP \cdot AC = 12 \cdot 20 = 240$.

7. Из шага 3 мы знаем, что $AH \cdot AD = AP \cdot AC$.
Подставим известные величины: $AH \cdot 16 = 240$.
Найдём $AH$:
$AH = \frac{240}{16} = 15$.

Ответ: 15

Источник: ФИПИ