Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

Данная функция является кусочно-заданной. Построим её график, рассматривая каждый промежуток отдельно.

1) На промежутке $x \geq -4$ функция имеет вид $y = x^2 + 2x + 1$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви которой направлены вверх.
Заметим, что $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$.
— Вершина параболы: $x_0 = -1$, $y_0 = (-1 + 1)^2 = 0$. Точка $(-1; 0)$.
— Граничная точка: при $x = -4$, $y = (-4 + 1)^2 = (-3)^2 = 9$. Точка $(-4; 9)$.
— Дополнительные точки: при $x = 0$, $y = 1$; при $x = 1$, $y = 4$.

2) На промежутке $x < -4$ функция имеет вид $y = -\frac{36}{x}$. Это обратная пропорциональность, графиком которой является ветвь гиперболы, расположенная во второй четверти (так как $x < 0$).
— Граничная точка (не включена): при $x = -4$, $y = -\frac{36}{-4} = 9$.
Заметим, что значения функций в точке стыка $x = -4$ совпали ($y = 9$), значит, график непрерывен.
— Дополнительные точки: при $x = -6$, $y = 6$; при $x = -9$, $y = 4$; при $x = -12$, $y = 3$.

3) Теперь определим количество точек пересечения графика с горизонтальной прямой $y = m$. Прямая $y = m$ параллельна оси $Ox$.
— При $m < 0$: прямая проходит ниже оси $Ox$. Общих точек с графиком нет.
— При $m = 0$: прямая совпадает с осью $Ox$ и касается вершины параболы в точке $(-1; 0)$. Одна общая точка.
— При $0 < m < 9$: прямая пересекает ветвь гиперболы (один раз) и две ветви параболы (два раза). Итого три точки.
— При $m = 9$: прямая проходит через точку стыка $(-4; 9)$ и пересекает правую ветвь параболы. Две общие точки.
— При $m > 9$: прямая пересекает только ветвь гиперболы (слева от $-4$) и правую ветвь параболы (справа от $-1$). Две общие точки.

Таким образом, одна или две общие точки наблюдаются при $m = 0$ и при $m \geq 9$.

Ответ: 0; [9; +∞)

Источник: ФИПИ