Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $O_1$ — центр меньшей окружности радиуса $r = 45$, а $O_2$ — центр большей окружности радиуса $R = 90$. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов: $O_1O_2 = R + r = 90 + 45 = 135$.

2) Общие касательные $AC$ и $BD$ пересекаются в некоторой точке $S$. Из симметрии фигуры следует, что точки $S$, $O_1$ и $O_2$ лежат на одной прямой. Рассмотрим прямоугольные треугольники $SO_1A$ и $SO_2C$ (радиусы $O_1A$ и $O_2C$ перпендикулярны касательной $AC$). Эти треугольники подобны по общему острому углу $S$.
Из подобия следует: $\frac{SO_1}{SO_2} = \frac{O_1A}{O_2C} = \frac{45}{90} = \frac{1}{2}$.
Значит, $O_1$ — середина отрезка $SO_2$. Тогда $SO_1 = O_1O_2 = 135$, а $SO_2 = 270$.

3) Найдем синус угла $\alpha = \angle O_1SA$:
$\sin \alpha = \frac{O_1A}{SO_1} = \frac{45}{135} = \frac{1}{3}$.
Тогда $\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

4) Прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны линии центров $SO_2$ в силу симметрии. Пусть $AB$ пересекает $SO_2$ в точке $M$, а $CD$ — в точке $N$. Расстояние между прямыми $AB$ и $CD$ равно длине отрезка $MN$.
В прямоугольном треугольнике $SO_1A$ отрезок $AM$ является высотой, проведенной к гипотенузе. Однако проще найти $SM$ и $SN$ через косинус угла $\alpha$.
В треугольнике $SMA$: $SM = SA \cdot \cos \alpha$.
Сначала найдем $SA = SO_1 \cdot \cos \alpha = 135 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = 90\sqrt{2}$.
Тогда $SM = 90\sqrt{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{180 \cdot 2}{3} = 120$.

5) Аналогично для треугольника $SNC$:
$SC = SO_2 \cdot \cos \alpha = 270 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = 180\sqrt{2}$.
Тогда $SN = SC \cdot \cos \alpha = 180\sqrt{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{360 \cdot 2}{3} = 240$.

6) Искомое расстояние между прямыми $AB$ и $CD$ равно:
$MN = SN - SM = 240 - 120 = 120$.

Ответ: 120

Источник: ФИПИ