Задание №22 — Функции

Решение.

Функция задана кусочно; построим её на каждом промежутке.

1) При $x < 2$: $y = 2,5x - 1$ — луч. При $x = 0$ имеем $y = -1$, точка $(0; -1)$; при $x \to 2$ значение стремится к $y = 2,5 \cdot 2 - 1 = 4$, но точка $(2; 4)$ на этом луче выколота. Функция возрастает, поэтому левый луч принимает все значения $y < 4$.

2) При $2 \le x \le 3$: $y = -3,5x + 11$ — отрезок. При $x = 2$: $y = 4$, точка $(2; 4)$; при $x = 3$: $y = -10,5 + 11 = 0,5$, точка $(3; 0,5)$. Отрезок убывает и принимает все значения $y \in [0,5; 4]$.

3) При $x > 3$: $y = x - 1$ — луч. При $x \to 3$ значение стремится к $y = 2$, но точка $(3; 2)$ выколота; при $x = 5$: $y = 4$, точка $(5; 4)$. Функция возрастает, поэтому правый луч принимает все значения $y > 2$.

В точке $x = 2$ график непрерывен (оба куска дают $y = 4$). В точке $x = 3$ — разрыв: отрезок заканчивается в $(3; 0,5)$, а правый луч начинается в выколотой точке $(3; 2)$.

Определим число общих точек прямой $y = m$ с графиком, складывая вклад трёх частей: левый луч даёт точку при $m < 4$, отрезок — при $0,5 \le m \le 4$, правый луч — при $m > 2$.

— При $m < 0,5$: только левый луч — 1 точка.
— При $m = 0,5$: левый луч и конец отрезка $(3; 0,5)$ — 2 точки.
— При $0,5 < m \le 2$: левый луч и отрезок; правый луч ещё не задействован (у него $y > 2$) — 2 точки.
— При $2 < m < 4$: левый луч, отрезок и правый луч — 3 точки.
— При $m = 4$: точка $(2; 4)$ на левом луче выколота, но принадлежит отрезку; плюс правый луч $(5; 4)$ — 2 точки.
— При $m > 4$: левый луч не достаёт ($y < 4$), отрезок не достаёт ($y \le 4$), остаётся только правый луч — 1 точка.

Значит, ровно две общие точки прямая $y = m$ имеет при всех $0,5 \le m \le 2$ и при $m = 4$.

Ответ: $0,5 \le m \le 2$; $m = 4$.