Задание №25 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $K$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CD$. Так как $AB \perp BC$ и $BC \parallel AD$ (по определению трапеции), то прямая $AB$ также перпендикулярна основанию $AD$. Таким образом, треугольники $KBC$ и $KAD$ являются прямоугольными с общим острым углом при вершине $K$.

2) Из подобия треугольников $KBC$ и $KAD$ (по двум углам) следует отношение их сторон:
$\frac{KC}{KD} = \frac{BC}{AD}$.
Подставим известные значения: $\frac{KC}{KD} = \frac{5}{6}$.
Пусть $KC = 5x$, тогда $KD = 6x$. Отсюда отрезок $CD = KD - KC = 6x - 5x = x$.

3) По свойству касательной и секущей, проведенных из одной точки $K$ к окружности: квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть.
$KE^2 = KC \cdot KD$.
Подставим наши выражения через $x$:
$KE^2 = 5x \cdot 6x = 30x^2$, откуда $KE = x\sqrt{30}$.

4) Нам нужно найти расстояние от точки $E$ до прямой $CD$. Обозначим это расстояние (длину перпендикуляра $EH$) как $h$.
Рассмотрим треугольник $KED$. Его площадь можно выразить двумя способами:
— Через катеты прямоугольного треугольника $KAD$, учитывая, что $E$ лежит на $KA$: $S_{KED} = \frac{1}{2} \cdot KE \cdot AD \cdot \sin(\angle EKD)$ — это не совсем удобно.
— Проще воспользоваться формулой площади через высоту: $S_{KED} = \frac{1}{2} \cdot KD \cdot h$.
— С другой стороны, в треугольнике $KED$ угол при вершине $K$ такой же, как в прямоугольном треугольнике $KBC$. Из треугольника $KBC$: $\sin(\angle K) = \frac{BC}{KC} = \frac{5}{5x} = \frac{1}{x}$ — это неверно, так как $KC$ — гипотенуза.
Исправим: в прямоугольном треугольнике $KBC$ гипотенуза $KC = 5x$, катет $BC = 5$. Тогда $\sin(\angle K) = \frac{BC}{KC} = \frac{5}{5x} = \frac{1}{x}$.

5) Теперь выразим площадь треугольника $KED$ через две стороны и синус угла между ними:
$S_{KED} = \frac{1}{2} \cdot KE \cdot KD \cdot \sin(\angle K)$.
С другой стороны:
$S_{KED} = \frac{1}{2} \cdot KD \cdot h$.
Приравняем эти выражения:
$\frac{1}{2} \cdot KD \cdot h = \frac{1}{2} \cdot KE \cdot KD \cdot \sin(\angle K)$.
Сократим на $\frac{1}{2} \cdot KD$:
$h = KE \cdot \sin(\angle K)$.

6) Подставим найденные значения $KE = x\sqrt{30}$ и $\sin(\angle K) = \frac{1}{x}$:
$h = x\sqrt{30} \cdot \frac{1}{x} = \sqrt{30}$.

Ответ: $\sqrt{30}$

Источник: ФИПИ