Задание №25 — Геометрия

#48291Задание №25ФИПИ

Окружность и круг

В трапеции $A B C D$ боковая сторона $A B$ перпендикулярна основанию $B C$ . Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $A B$ в точке $E$ . Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $C D$ , если $A D = 6$ , $B C = 5$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1) Пусть $K$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CD$ . Так как $AB \perp BC$ и $BC \parallel AD$ (по определению трапеции), то прямая $AB$ также перпендикулярна основанию $AD$ . Таким образом, треугольники $KBC$ и $KAD$ являются прямоугольными с общим острым углом при вершине $K$ .

2) Из подобия треугольников $KBC$ и $KAD$ (по двум углам) следует отношение их сторон:
$\frac{KC}{KD} = \frac{BC}{AD}$ .
Подставим известные значения: $\frac{KC}{KD} = \frac{5}{6}$ .
Пусть $KC = 5x$ , тогда $KD = 6x$ . Отсюда отрезок $CD = KD - KC = 6x - 5x = x$ .

3) По свойству касательной и секущей, проведенных из одной точки $K$ к окружности: квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть.
$KE^2 = KC \cdot KD$ .
Подставим наши выражения через $x$ :
$KE^2 = 5x \cdot 6x = 30x^2$ , откуда $KE = x\sqrt{30}$ .

4) Нам нужно найти расстояние от точки $E$ до прямой $CD$ . Обозначим это расстояние (длину перпендикуляра $EH$ ) как $h$ .
Рассмотрим треугольник $KED$ . Его площадь можно выразить двумя способами:
— Через катеты прямоугольного треугольника $KAD$ , учитывая, что $E$ лежит на $KA$ : $S_{KED} = \frac{1}{2} \cdot KE \cdot AD \cdot \sin(\angle EKD)$ — это не совсем удобно.
— Проще воспользоваться формулой площади через высоту: $S_{KED} = \frac{1}{2} \cdot KD \cdot h$ .
— С другой стороны, в треугольнике $KED$ угол при вершине $K$ такой же, как в прямоугольном треугольнике $KBC$ . Из треугольника $KBC$ : $\sin(\angle K) = \frac{BC}{KC} = \frac{5}{5x} = \frac{1}{x}$ — это неверно, так как $KC$ — гипотенуза.
Исправим: в прямоугольном треугольнике $KBC$ гипотенуза $KC = 5x$ , катет $BC = 5$ . Тогда $\sin(\angle K) = \frac{BC}{KC} = \frac{5}{5x} = \frac{1}{x}$ .

5) Теперь выразим площадь треугольника $KED$ через две стороны и синус угла между ними:
$S_{KED} = \frac{1}{2} \cdot KE \cdot KD \cdot \sin(\angle K)$ .
С другой стороны:
$S_{KED} = \frac{1}{2} \cdot KD \cdot h$ .
Приравняем эти выражения:
$\frac{1}{2} \cdot KD \cdot h = \frac{1}{2} \cdot KE \cdot KD \cdot \sin(\angle K)$ .
Сократим на $\frac{1}{2} \cdot KD$ :
$h = KE \cdot \sin(\angle K)$ .

6) Подставим найденные значения $KE = x\sqrt{30}$ и $\sin(\angle K) = \frac{1}{x}$ :
$h = x\sqrt{30} \cdot \frac{1}{x} = \sqrt{30}$ .

Ответ: $\sqrt{30}$

Источник: ФИПИ