Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим треугольники $AKB$ и $DKC$. Углы $BAC$ и $BDC$ равны, так как они являются вписанными и опираются на одну и ту же дугу $BC$. Аналогично, углы $ABD$ и $ACD$ равны, так как опираются на дугу $AD$. Следовательно, треугольники $AKB$ и $DKC$ подобны по двум углам ($\triangle AKB \sim \triangle DKC$).

2. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $\frac{AK}{DK} = \frac{BK}{CK} = \frac{AB}{CD}$. Подставим известные значения сторон: $\frac{AB}{CD} = \frac{40}{10} = 4$. Пусть $CK = x$, тогда $BK = 4x$. Пусть $DK = y$, тогда $AK = 4y$.

3. Рассмотрим треугольник $BKC$. Угол $BKC$ смежный с углом $AKB$, поэтому $\angle BKC = 180^\circ - \angle AKB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. По теореме косинусов для треугольника $BKC$: $BC^2 = BK^2 + CK^2 - 2 \cdot BK \cdot CK \cdot \cos(120^\circ)$. Так как $\cos(120^\circ) = -0,5$, получаем: $BC^2 = (4x)^2 + x^2 - 2 \cdot 4x \cdot x \cdot (-0,5) = 16x^2 + x^2 + 4x^2 = 21x^2$. Отсюда $BC = x\sqrt{21}$.

4. Рассмотрим треугольник $AKD$. Угол $AKD$ также смежный с углом $AKB$, значит $\angle AKD = 120^\circ$. По теореме косинусов для треугольника $AKD$: $AD^2 = AK^2 + DK^2 - 2 \cdot AK \cdot DK \cdot \cos(120^\circ)$. $AD^2 = (4y)^2 + y^2 - 2 \cdot 4y \cdot y \cdot (-0,5) = 16y^2 + y^2 + 4y^2 = 21y^2$. Отсюда $AD = y\sqrt{21}$.

5. В треугольнике $ABC$ по теореме синусов радиус $R$ описанной окружности равен: $R = \frac{BC}{2\sin(\angle BAC)}$. Из треугольника $AKB$ по теореме синусов: $\frac{AB}{\sin(60^\circ)} = \frac{BK}{\sin(\angle BAC)}$, откуда $\sin(\angle BAC) = \frac{BK \cdot \sin(60^\circ)}{AB} = \frac{4x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{40} = \frac{x\sqrt{3}}{20}$.

6. Подставим значение синуса в формулу для радиуса: $R = \frac{x\sqrt{21}}{2 \cdot \frac{x\sqrt{3}}{20}} = \frac{x\sqrt{21} \cdot 20}{2x\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{21}}{2\sqrt{3}} = 10\sqrt{\frac{21}{3}} = 10\sqrt{7}$.

Ответ: $10\sqrt{7}$

Источник: ФИПИ