Задание №25 — Геометрия

Решение.

1. Пусть $ABCD$ — данная равнобедренная трапеция с основаниями $BC = a$ (меньшее) и $AD = b$ (большее), и боковыми сторонами $AB = CD = c$.

2. По условию в трапецию можно вписать окружность. Согласно свойству описанного четырёхугольника, суммы противоположных сторон равны:
$a + b = c + c$, то есть $a + b = 2c$.

3. Периметр трапеции равен 100:
$P = a + b + 2c = 100$.
Подставим $a + b = 2c$ в формулу периметра:
$2c + 2c = 100$, откуда $4c = 100$, значит $c = 25$.
Следовательно, сумма оснований $a + b = 2c = 50$.

4. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$, где $h$ — высота трапеции.
Подставим известные значения: $500 = \frac{50}{2} \cdot h$, то есть $500 = 25 \cdot h$.
Отсюда высота $h = \frac{500}{25} = 20$.

5. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей. Проведём через точку $O$ высоту трапеции $KH$, где точка $K$ лежит на меньшем основании $BC$, а точка $H$ — на большем основании $AD$. Отрезок $OK$ — это искомое расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания. Обозначим $OK = x$, тогда $OH = h - x = 20 - x$.

6. Треугольники $BOC$ и $DOA$ подобны по двум углам (углы при вершине $O$ вертикальные, а углы $CBO$ и $ADO$ накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$).
В подобных треугольниках высоты относятся так же, как и соответствующие стороны:
$\frac{OK}{OH} = \frac{BC}{AD}$, то есть $\frac{x}{20 - x} = \frac{a}{b}$.

7. Найдём основания $a$ и $b$. Проведём высоту $BE$ из вершины $B$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции отрезок $AE = \frac{b - a}{2}$.
Из прямоугольного треугольника $ABE$ по теореме Пифагора:
$AE^2 = AB^2 - BE^2 = c^2 - h^2 = 25^2 - 20^2 = 625 - 400 = 225$.
$AE = \sqrt{225} = 15$.
Значит, $\frac{b - a}{2} = 15$, откуда $b - a = 30$.

8. Имеем систему уравнений для оснований:
$\begin{cases} a + b = 50 \\ b - a = 30 \end{cases}$
Складывая уравнения, получаем $2b = 80$, то есть $b = 40$. Тогда $a = 50 - 40 = 10$.

9. Вернёмся к подобию треугольников:
$\frac{x}{20 - x} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}$.
Решим пропорцию: $4x = 20 - x$,
$5x = 20$,
$x = 4$.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ