Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Преобразование функции.
Для начала упростим выражение, задающее функцию, и определим её область определения. $y = \frac{2|x| - 1}{|x| - 2x^2}$.
Заметим, что $x^2 = |x|^2$. Тогда выражение в знаменателе можно переписать так: $|x| - 2x^2 = |x| - 2|x|^2 = |x|(1 - 2|x|)$.
Функция определена, если знаменатель не равен нулю: $|x|(1 - 2|x|) \neq 0$, откуда $x \neq 0$ и $1 - 2|x| \neq 0$.
Из $1 - 2|x| \neq 0$ получаем $|x| \neq 0,5$, то есть $x \neq 0,5$ и $x \neq -0,5$.
Таким образом, область определения: $x \in (-\infty; -0,5) \cup (-0,5; 0) \cup (0; 0,5) \cup (0,5; +\infty)$.

2. Сокращение дроби.
Вынесем минус в числителе: $2|x| - 1 = -(1 - 2|x|)$.
Тогда $y = \frac{-(1 - 2|x|)}{|x|(1 - 2|x|)}$.
При $x \neq \pm 0,5$ дробь сокращается: $y = -\frac{1}{|x|}$.
Итак, график данной функции совпадает с графиком $y = -\frac{1}{|x|}$ при условии, что $x \neq \pm 0,5$.

3. Построение графика.
График $y = -\frac{1}{|x|}$ состоит из двух ветвей гипербол:
— Если $x > 0$, то $y = -\frac{1}{x}$ (ветвь в IV четверти).
— Если $x < 0$, то $y = \frac{1}{x}$ (ветвь в III четверти).
На графике должны быть "выколоты" точки с абсциссами $x = 0,5$ и $x = -0,5$.
Найдём ординаты этих точек:
Если $x = 0,5$, то $y = -\frac{1}{0,5} = -2$. Точка $(0,5; -2)$.
Если $x = -0,5$, то $y = -\frac{1}{|-0,5|} = -2$. Точка $(-0,5; -2)$.

4. Исследование количества общих точек с прямой $y = kx$.
Прямая $y = kx$ проходит через начало координат $(0,0)$.
— Прямая не имеет общих точек с графиком, если она проходит через "выколотые" точки.
Подставим координаты точки $(0,5; -2)$: $-2 = k \cdot 0,5 \Rightarrow k = -4$.
Подставим координаты точки $(-0,5; -2)$: $-2 = k \cdot (-0,5) \Rightarrow k = 4$.
— Также прямая $y = kx$ не имеет общих точек с графиком, если она не пересекает ветви гипербол. Ветви гиперболы $y = -\frac{1}{|x|}$ расположены строго ниже оси $Ox$. Прямая $y = kx$ при $k = 0$ совпадает с осью $Ox$, которая является горизонтальной асимптотой и не пересекает график.

Проверим, могут ли быть другие значения $k$. Уравнение $kx = -\frac{1}{|x|}$ при $x > 0$ превращается в $kx^2 = -1$. Оно не имеет корней, если $k \geq 0$. При $x < 0$ уравнение $kx = \frac{1}{x}$ превращается в $kx^2 = 1$. Оно не имеет корней, если $k \leq 0$. Единственное значение $k$, удовлетворяющее обоим условиям одновременно — это $k = 0$. При $k > 0$ прямая пересечет левую ветвь, при $k < 0$ — правую.

Таким образом, искомые значения $k$: $-4$, $0$, $4$.

Ответ: -4; 0; 4.

Источник: ФИПИ