Задание №22 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Область определения функции.
Функция определена, когда знаменатель не равен нулю:
$x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.
Точка с абсциссой $x = 2$ будет "выколотой" на графике.

2. Упрощение выражения.
Вынесем общий множитель $0,5x$ в числителе:
$y = \frac{0,5x(x - 2) \cdot |x|}{x - 2}$.
При $x \neq 2$ мы можем сократить дробь на $(x - 2)$:
$y = 0,5x \cdot |x|$.

3. Раскрытие модуля.
Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$:
а) Если $x \geq 0$ (и $x \neq 2$), то $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = 0,5x \cdot x = 0,5x^{2}$.
Это ветвь параболы, направленная вверх, с вершиной в точке $(0; 0)$.
б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = 0,5x \cdot (-x) = -0,5x^{2}$.
Это ветвь параболы, направленная вниз, с вершиной в точке $(0; 0)$.

4. Нахождение координат "выколотой" точки.
Подставим $x = 2$ в упрощенное выражение для положительных $x$:
$y = 0,5 \cdot 2^{2} = 0,5 \cdot 4 = 2$.
Значит, точка $(2; 2)$ отсутствует на графике.

5. Анализ количества общих точек с прямой $y = m$.
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Она не будет иметь общих точек с графиком в двух случаях:
— Если прямая проходит через "выколотую" точку. Координата $y$ этой точки равна $2$, значит $m = 2$.
— Если прямая проходит через область, где график не существует. Однако график функции $y = 0,5x|x|$ непрерывен (кроме точки $x=2$) и принимает все значения от $-\infty$ до $+\infty$. Единственный разрыв — это точка $(2; 2)$.

Таким образом, прямая $y = m$ не имеет общих точек с графиком только при $m = 2$.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ